La moyenne d'une fonction continue

La moyenne de quelques nombres, on sait faire : on les additionne et on divise par leur nombre. Mais comment faire la moyenne d'une fonction, qui prend une infinité de valeurs entre a et b ? On ne peut plus additionner ni compter. L'intégrale résout exactement ce problème.

L'idée : remplacer la somme des valeurs par leur intégrale (la somme continue), et le nombre de valeurs par la longueur de l'intervalle. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est :

   μ = 1/(b − a) · ∫ (de a à b) f(x) dx

La ressemblance avec la moyenne discrète est frappante :

   moyenne de nombres :   (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n        (somme / effectif)
   moyenne d'une fonction :   (∫ f) / (b − a)             (integrale / longueur)

L'intégrale joue le rôle de la somme, et la longueur (b − a) celui de l'effectif. C'est la généralisation naturelle de la moyenne au continu.

Un exemple : la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 1].

   μ = 1/(1−0) · ∫ de 0 à 1 x² dx = 1 · (1/3) = 1/3

En moyenne, la fonction carré vaut 1/3 sur [0 ; 1] — bien en dessous de sa valeur maximale 1, car elle passe beaucoup de temps près de 0. Retiens la formule et surtout son sens : la valeur moyenne, c'est l'intégrale « lissée » sur la longueur de l'intervalle.