Applications : physique et signaux

La valeur moyenne n'est pas une curiosité théorique : c'est un outil quotidien en physique et en traitement du signal, partout où une grandeur varie continûment.

Vitesse moyenne. Si la vitesse v(t) d'un mobile varie au cours du temps entre les instants t₁ et t₂, sa vitesse moyenne est la valeur moyenne de v :

   v_moy = 1/(t₂ − t₁) · ∫ de t₁ à t₂ v(t) dt = (distance parcourue) / (temps)

On retrouve la définition élémentaire « distance / temps », car l'intégrale de la vitesse est justement la distance. La formule intégrale la généralise à n'importe quelle variation.

Valeur moyenne d'un signal. En électricité, une tension u(t) alternative varie sans cesse. Sa valeur moyenne sur une période dit s'il reste une composante « continue ». Pour un signal sinusoïdal centré, cette moyenne est nulle — les alternances positives et négatives se compensent.

   signal alternatif centre  ->  valeur moyenne = 0 (sur une periode)

C'est pourquoi on caractérise souvent ces signaux non par leur moyenne (nulle) mais par la moyenne de leur carré (la valeur efficace, ou RMS), qui, elle, n'est pas nulle et mesure la « puissance » du signal.

   valeur moyenne     : 1/(b−a) ∫ f            (composante continue)
   valeur efficace    : racine de la moyenne de f²  (puissance du signal)

Le fil conducteur : dès qu'une grandeur varie continûment et qu'on veut une valeur représentative unique, c'est la valeur moyenne — donc une intégrale — que l'on calcule. Vitesse, débit, température, tension : partout la même idée.