Variations d'une fonction

Croissante ou decroissante ?

Etudier les variations d'une fonction, c'est observer comment f(x) evolue quand x augmente.

• f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I tels que a <= b, on a f(a) <= f(b) (les images suivent le meme sens que les antecedents).
• f est decroissante sur I si a <= b entraine f(a) >= f(b) (les images vont dans le sens contraire).

Exemple concret

La fonction "carre" f(x) = x^2 :

• decroit sur ]-infini ; 0] (plus x se rapproche de 0 par la gauche, plus x^2 diminue)
• croit sur [0 ; +infini[ (plus x s'eloigne de 0 vers la droite, plus x^2 augmente)

Le tableau de variations

On resume ces informations dans un tableau :

x	-infini	...	0	...	+infini
f(x)		decroissante (fleche vers le bas)	0	croissante (fleche vers le haut)

Une fleche vers le bas signale la decroissance, une fleche vers le haut la croissance.

Piege classique

Une fonction qui decroit puis croit n'est pas "contradictoire" : c'est parfaitement normal, une fonction peut changer de sens de variation plusieurs fois sur son ensemble de definition. Attention aussi a ne pas confondre le signe de f(x) (positif ou negatif) avec le sens de variation (croissant ou decroissant) : ce sont deux informations differentes qui ne se lisent pas de la meme facon.

Minimum et maximum

Quand une fonction decroit puis croit, elle admet un minimum au point de changement (ici 0 pour f(x) = x^2, minimum egal a 0). Inversement, une fonction croissante puis decroissante admet un maximum en ce point.