Du discret au continu

Variables continues et densité de probabilité

Jusqu'ici, les variables aléatoires prenaient des valeurs isolées : 0, 1, 2 succès. Mais une taille, une durée, une température peuvent prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle. Il faut alors changer d'outil.

Le problème du continu

Quelle est la probabilité qu'une personne mesure exactement 1,750000... m ? Zéro. Entre 1,74 et 1,76, il y a une infinité de valeurs possibles ; aucune ne peut avoir de probabilité non nulle, sinon la somme dépasserait 1.

Variable DISCRÈTE                  Variable CONTINUE
------------------------------     ------------------------------
P(X = 3) a un sens                 P(X = 1,75) = 0 toujours
on ADDITIONNE des probabilités     on parle d'INTERVALLES
diagramme en bâtons                courbe continue

Une variable continue ne se décrit donc que par des intervalles : P(1,74 ≤ X ≤ 1,76).

Conséquence pratique : les inégalités strictes ou larges donnent le même résultat.

P(X ≤ a) = P(X < a)          car P(X = a) = 0

La densité de probabilité

On remplace le diagramme en bâtons par une courbe de densité f. La probabilité devient une aire sous la courbe :

   f(x)
     |        ___
     |      _/###\_              P(a ≤ X ≤ b) = aire hachurée
     |    _/ #####  \_
     |  _/   #####    \_
     +---|---#####---|-------> x
         a           b

Deux règles définissent une densité :

1. f(x) ≥ 0 partout                     (pas d'aire négative)
2. l'aire TOTALE sous la courbe vaut 1  (il se passe forcément quelque chose)

C'est exactement la transposition continue de « la somme des probabilités vaut 1 ».

De l'histogramme à la courbe

Le passage se visualise bien. En affinant les classes d'un histogramme de tailles :

classes de 10 cm       classes de 2 cm         classes infiniment fines
    ▄▆█▆▄                ▁▃▅▇█▇▅▃▁                    ___
   ▄▆███▆▄              ▁▃▅▇███▇▅▃▁               __/   \__
  ------------          --------------          --------------

L'histogramme des fréquences se lisse en une courbe : c'est la densité. L'aire d'une barre devenait une fréquence ; l'aire sous la courbe devient une probabilité.

Espérance et écart-type

Les notions restent les mêmes, la somme devenant une intégrale :

E(X) = ∫ x f(x) dx           l'abscisse du « centre de gravité » de la surface
V(X) = E(X²) - [E(X)]²       l'étalement autour de ce centre

On les interprète comme avant : E(X) situe le centre, σ(X) mesure la dispersion.

En résumé