Utiliser la loi normale

Standardiser : la variable centrée réduite

Il existe une infinité de lois normales — une par couple (μ , σ). On les ramène toutes à une seule par un changement de variable.

La variable centrée réduite

        X - μ
   Z = -------            alors  Z ~ N(0 , 1)
          σ

Deux opérations : on centre (soustraire μ place le centre en 0), puis on réduit (diviser par σ fixe l'unité à un écart-type).

X ~ N(100 ; 15²)                    Z ~ N(0 ; 1)
        __                                __
      _/  \_             ------>        _/  \_
   __/      \__                      __/      \__
  ---|---|---|---                   ---|---|---|---
    85 100 115                        -1   0   1

Le nombre z obtenu s'appelle le score z : c'est la distance à la moyenne, comptée en écarts-types.

X = 130 pour N(100 ; 15²)   ->   z = (130 - 100)/15 = 2

  « 130 est à deux écarts-types au-dessus de la moyenne »

Pourquoi c'est utile

Le score z rend comparables des mesures d'unités différentes :

Un élève obtient 14/20 en maths (moyenne de classe 11, écart-type 2)
                 et 15/20 en français (moyenne 13, écart-type 4)

maths    : z = (14 - 11)/2 = +1,5
français : z = (15 - 13)/4 = +0,5

  ->  la meilleure performance RELATIVE est en maths, malgré la note plus basse

C'est le principe de toute standardisation : notes centrées réduites, scores de tests, indices de croissance en pédiatrie.

Les valeurs à connaître

Une fois en N(0,1), on lit les probabilités dans une table ou une calculatrice. Quelques repères suffisent en pratique :

z       P(Z ≤ z)         zone centrale correspondante
-----   ---------        ----------------------------
1,00     0,841           68 %   dans [-1 ; 1]
1,645    0,950           90 %   dans [-1,645 ; 1,645]
1,96     0,975           95 %   dans [-1,96 ; 1,96]
2,576    0,995           99 %   dans [-2,576 ; 2,576]

Le nombre 1,96 est le plus utilisé de toute la statistique : c'est lui qui apparaît dans les intervalles de confiance à 95 %.

La méthode de calcul

1. traduire l'énoncé en inégalité sur X
2. standardiser : soustraire μ, diviser par σ
3. lire la probabilité pour Z
4. utiliser la symétrie si nécessaire

X ~ N(100 ; 15²).  Quelle proportion dépasse 130 ?

  P(X > 130) = P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) = 1 - 0,977 = 0,023

  soit environ 2,3 % de la population.

Les deux réflexes de symétrie qui évitent la moitié des tables :

P(Z ≤ -z) = 1 - P(Z ≤ z)
P(-z ≤ Z ≤ z) = 2 P(Z ≤ z) - 1

En résumé