La loi normale et ses paramètres

Parmi toutes les densités possibles, une revient sans cesse : la courbe en cloche de la loi normale, dite aussi loi de Gauss ou de Laplace-Gauss.

La courbe

   f(x)
     |                 __
     |               _/  \_                 symétrique autour de μ
     |             _/      \_
     |          __/          \__            décroît très vite sur les côtés
     |     ____/                \____
     +----|-------|-------|-------|----> x
        μ-2σ     μ-σ  μ  μ+σ    μ+2σ

Elle est entièrement décrite par deux paramètres :

μ  (mu)     l'espérance      ->  la POSITION du sommet
σ  (sigma)  l'écart-type     ->  la LARGEUR de la cloche

On note X ~ N(μ , σ²).

σ petit                     σ grand
   |                          |
   |   /\                     |     ___
   |  /  \                    |   _/   \_
   | /    \                   | _/       \_
   +--------                  +--------------
 pointue et resserrée       aplatie et étalée

Changer μ translate la courbe sans la déformer ; changer σ la resserre ou l'étale, l'aire restant toujours égale à 1.

Deux repères visuels utiles : le sommet est en x = μ, et les points d'inflexion — là où la courbe cesse de creuser pour s'évaser — se situent exactement en μ - σ et μ + σ. C'est la lecture graphique de l'écart-type.

La règle des trois sigmas

C'est le résultat à retenir absolument, et il vaut pour toute loi normale, quels que soient μ et σ :

    μ-3σ   μ-2σ   μ-σ    μ    μ+σ   μ+2σ   μ+3σ
      |      |     |     |     |      |      |
      |------|-----|-----|-----|------|------|
                   <----68 %---->
            <---------95 %--------->
      <-------------99,7 %--------------->

P(μ - σ  ≤ X ≤ μ + σ)  ≈ 68 %       (68,27 %)
P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95 %       (95,45 %)
P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99,7 %     (99,73 %)

Autrement dit : une valeur au-delà de trois écarts-types est exceptionnelle — trois cas sur mille.

Un exemple

Le QI est étalonné pour suivre une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 15.

   entre 85 et 115  (μ ± σ)   ->  environ 68 % de la population
   entre 70 et 130  (μ ± 2σ)  ->  environ 95 %
   au-dessus de 145 (μ + 3σ)  ->  environ 0,13 %, soit 1 personne sur 740

Cette lecture immédiate est ce qui rend la loi normale si commode : un écart s'interprète en « nombre de sigmas », indépendamment de l'unité et du contexte.

Ce que la symétrie donne gratuitement

P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0,5              la moyenne est aussi la médiane
P(X ≥ μ + a) = P(X ≤ μ - a)            les deux queues sont identiques

Ainsi, si 95 % des valeurs sont dans μ ± 2σ, les 5 % restants se partagent également : 2,5 % au-dessus, 2,5 % en dessous.

En résumé

• La loi normale N(μ , σ²) a une densité en cloche, symétrique autour de μ.
• μ fixe la position, σ la largeur ; l'aire totale reste 1.
• Les points d'inflexion sont en μ ± σ.
• Règle des 3 sigmas : 68 %, 95 %, 99,7 % des valeurs dans μ ± σ, ± 2σ, ± 3σ.
• Moyenne = médiane = mode, par symétrie.
• Un écart s'interprète en nombre d'écarts-types, quelle que soit l'unité.