Le théorème central limite

Pourquoi cette courbe précise apparaît-elle en biologie, en métrologie, en finance et en sondage ? Un théorème l'explique — et c'est l'un des plus profonds des mathématiques.

Le théorème central limite

Quand on additionne un grand nombre de contributions aléatoires indépendantes et de tailles comparables, la somme suit approximativement une loi normale — quelle que soit la loi de chaque contribution.

C'est le point remarquable : la loi de départ n'a aucune importance. Des dés, des pièces, des durées quelconques : la somme tend vers la même cloche.

Somme de 1 dé          Somme de 2 dés        Somme de 10 dés
                                                    ___
 ██████                    ▁▃▅█▅▃▁              __/   \__
 1 2 3 4 5 6              2   7    12          10   35   60

 plat (uniforme)          triangulaire         quasi-normale

Pourquoi la nature en est remplie

Beaucoup de grandeurs mesurées sont des sommes de petites causes indépendantes :

la taille d'un adulte  = des centaines de gènes + nutrition + sommeil + ...
une erreur de mesure   = vibration + température + parallaxe + arrondi + ...
le bruit électronique  = mouvements d'un très grand nombre d'électrons

Chacune de ces contributions suit une loi inconnue, souvent bizarre. Peu importe : leur somme est normale. C'est la raison profonde pour laquelle la cloche s'impose partout, sans qu'aucun mécanisme n'ait été « conçu » pour la produire.

Les moyennes d'échantillons

C'est la conséquence la plus utilisée. Si l'on tire un échantillon de taille n dans une population de moyenne μ et d'écart-type σ :

                                       σ
la moyenne de l'échantillon  ~  N( μ , ---- )        pour n assez grand
                                       √n

Deux enseignements majeurs :

• la population n'a pas besoin d'être normale ; seule la moyenne l'est. C'est le contresens le plus répandu sur ce théorème ;
• l'écart-type de la moyenne décroît en 1/√n — le fameux facteur qui gouverne la précision des sondages.

n = 100   ->  incertitude divisée par 10 par rapport à un individu
n = 10 000 -> divisée par 100

L'approximation de la loi binomiale

Cas particulier historique, dû à de Moivre et Laplace :

B(n ; p)  ≈  N( np , np(1-p) )        si np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5

   B(100 ; 0,5)                          N(50 ; 25)
                                             ___
      ▁▂▃▅▇█▇▅▃▂▁              ≈         __/   \__
     35   50   65                       35   50   65

Additionner 40 termes binomiaux devient inutile : une lecture de table suffit.

Ce que le théorème NE dit pas

Ses conditions comptent autant que sa conclusion :

- il faut des contributions INDÉPENDANTES
     -> si elles sont corrélées (panique boursière, contagion), il ne s'applique pas

- il faut qu'AUCUNE ne domine les autres
     -> une cause dominante impose sa propre loi

- il faut une VARIANCE FINIE
     -> certaines lois (Cauchy) n'en ont pas : la somme ne se normalise jamais

- il concerne des SOMMES
     -> un PRODUIT de facteurs aléatoires donne une loi log-normale, très
        dissymétrique : c'est le cas des revenus, des tailles d'entreprises
        ou des rendements composés

C'est pourquoi les modèles financiers fondés sur la loi normale sous-estiment gravement les krachs : les rendements extrêmes sont bien plus fréquents que la cloche ne le prévoit, et les mouvements de panique sont tout sauf indépendants. On parle de queues épaisses. Un krach « à 10 sigmas », impossible en loi normale (une chance sur 10²³), s'est produit plusieurs fois en un siècle.

En résumé

• Théorème central limite : une somme de nombreuses contributions indépendantes tend vers une loi normale, quelle que soit leur loi.
• C'est pourquoi la cloche apparaît en biologie, en métrologie, en industrie.
• La moyenne d'un échantillon suit N(μ , σ/√n) — même si la population n'est pas normale.
• Cas particulier : B(n ; p) ≈ N(np , np(1-p)).
• Il exige indépendance, aucune contribution dominante, une variance finie, et une somme — pas un produit.
• Ignorer ces conditions conduit à sous-estimer les événements extrêmes (queues épaisses).