La loi binomiale et sa formule

On note X le nombre de succès obtenus au cours des n répétitions. La loi de X s'appelle la loi binomiale.

La formule

                     n-k
P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)

pour k allant de 0 à n. On note X ~ B(n , p).

D'où elle vient

Les trois facteurs se lisent directement sur l'arbre :

p^k          la probabilité des k succès du chemin
(1-p)^(n-k)  celle des n-k échecs
C(n,k)       le NOMBRE de chemins ayant exactement k succès
             (on choisit dans quelles k répétitions sur n le succès tombe)

C'est le coefficient binomial du triangle de Pascal, dans son rôle le plus concret : il compte les positions possibles des succès dans la séquence.

Un exemple complet

Une machine produit 20 % de pièces défectueuses. On en prélève 5. Soit X le nombre de pièces défectueuses.

X ~ B(5 ; 0,2)

P(X = 2) = C(5,2) × 0,2² × 0,8³
         =   10   × 0,04 × 0,512
         = 0,2048

Environ 20 % de chances d'obtenir exactement deux pièces défectueuses sur cinq.

La loi complète :

  k          0        1        2        3        4        5
  P(X=k)  0,3277   0,4096   0,2048   0,0512   0,0064   0,0003

  somme = 1  ✔

 P(X=k)
  0,41 |     █
  0,33 |  █  █
  0,20 |  █  █  █
  0,05 |  █  █  █  █
  0,00 |  █  █  █  █  █  █
       +--0--1--2--3--4--5--> k

Les calculs qui reviennent

« Au moins un » — toujours par l'événement contraire :

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n

Probabilité d'obtenir au moins un 6 en 4 lancers de dé :

  1 - (5/6)⁴ = 1 - 0,4823 = 0,5177        soit environ 52 %

C'est le calcul qui fonda, dit-on, la théorie des probabilités : le chevalier de Méré avait remarqué que ce pari était légèrement gagnant, et demanda à Pascal pourquoi.

« Au plus » ou « au moins k » — on additionne les termes voulus, ou on passe par le contraire si c'est plus court :

P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2)

L'allure de la distribution

p = 0,5 (symétrique)        p = 0,2 (étalée à droite)   p = 0,9 (à gauche)

      ___                     _                                  _
     /   \                   / \_                            ___/ \
  __/     \__               /    \___                    ___/
  0   n/2   n              0                n            0        n

• p = 0,5 : distribution symétrique ;
• p petit : les valeurs se concentrent près de 0 ;
• n grand : la courbe prend une forme de cloche — c'est l'annonce de la loi normale.

En résumé

• X ~ B(n ; p) compte les succès sur n répétitions indépendantes.
• P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k).
• Les trois facteurs : probabilité des succès, des échecs, et nombre de chemins.
• « Au moins un » se calcule par 1 - (1-p)^n.
• La distribution est symétrique pour p = 0,5, décalée sinon, et tend vers une cloche quand n grandit.