Répéter une épreuve à deux issues

L'épreuve et le schéma de Bernoulli

Beaucoup de situations se ramènent à la même structure : on répète une expérience qui n'a que deux issues, et l'on compte les succès. C'est le schéma le plus fréquent de toutes les probabilités appliquées.

L'épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues seulement, appelées conventionnellement « succès » et « échec ».

Le paramètre p désigne la probabilité du succès ; celle de l'échec vaut donc 1 - p, souvent notée q.

Expérience                        Succès              p
--------------------------------  ------------------  --------
lancer une pièce                  obtenir pile        0,5
lancer un dé                      obtenir un 6        1/6
contrôler une pièce usinée        pièce défectueuse   0,02
interroger un électeur            réponse « oui »     inconnue

Le mot « succès » n'a rien d'évaluatif : dans un contrôle qualité, le « succès » est souvent le défaut. C'est simplement l'issue que l'on compte.

Si X vaut 1 en cas de succès et 0 sinon :

E(X) = 1×p + 0×(1-p) = p
V(X) = p(1-p)

La variance est maximale pour p = 0,5 — l'incertitude est la plus grande quand les deux issues sont également probables — et nulle pour p = 0 ou p = 1, où le résultat est certain.

Le schéma de Bernoulli

On répète maintenant n fois la même épreuve, dans les mêmes conditions et de façon indépendante. C'est un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

Les trois conditions sont à vérifier systématiquement :

1. chaque épreuve n'a que DEUX issues
2. la probabilité p est LA MÊME à chaque répétition
3. les épreuves sont INDÉPENDANTES

L'arbre

Pour n = 3 répétitions, l'arbre a 2³ = 8 chemins :

                  /-- S   SSS
           /-- S <
          /       \-- E   SSE
   /-- S <
  /       \        /-- S   SES
 /         \-- E <
S                  \-- E   SEE
 \        /-- S ...  ESS, ESE
  \-- E <
          \-- E ...  EES, EEE

Chaque chemin a une probabilité obtenue en multipliant celles des branches — c'est l'indépendance qui l'autorise :

P(SSE) = p × p × (1-p) = p²(1-p)
P(SES) = p × (1-p) × p = p²(1-p)        même valeur !
P(ESS) = (1-p) × p × p = p²(1-p)

L'observation décisive : tous les chemins comportant le même nombre de succès ont la même probabilité, quel que soit l'ordre. Il ne reste donc qu'à compter les chemins — et c'est exactement le rôle des combinaisons.

Quand le schéma ne s'applique pas

Tirage SANS remise dans une urne  ->  p change à chaque tirage (condition 2)
Épreuves qui s'influencent        ->  indépendance rompue (condition 3)
Plus de deux issues               ->  condition 1

Une nuance utile : quand on tire sans remise dans une population très grande (un sondage sur 1000 personnes parmi 40 millions), la composition varie si peu que l'on assimile le tirage à un tirage avec remise. C'est ce qui autorise à traiter les sondages par la loi binomiale.

En résumé