Espérance, variance et taille de l'échantillon

Deux formules dispensent de longs calculs : celles de l'espérance et de la variance d'une loi binomiale.

Les formules

X ~ B(n ; p)

E(X) = n p
V(X) = n p (1 - p)
σ(X) = √( n p (1-p) )

L'espérance est d'une évidence rassurante : sur 100 lancers d'une pièce, on attend 100 × 0,5 = 50 piles.

Pourquoi c'est vrai

La démonstration tient en une ligne, grâce à la linéarité de l'espérance. Écrivons X comme une somme :

X = X1 + X2 + ... + Xn        où Xi vaut 1 si la i-ème épreuve est un succès

Chaque Xi est une variable de Bernoulli, d'espérance p. Donc :

E(X) = E(X1) + ... + E(Xn) = p + p + ... + p = n p

Aucune hypothèse d'indépendance n'est nécessaire ici — l'espérance s'additionne toujours. Pour la variance, en revanche, l'indépendance est indispensable :

V(X) = V(X1) + ... + V(Xn) = n · p(1-p)      (car les épreuves sont indépendantes)

Un exemple

Une chaîne produit 2 % de pièces défectueuses. On contrôle 50 pièces.

X ~ B(50 ; 0,02)

E(X) = 50 × 0,02 = 1 pièce défectueuse en moyenne
V(X) = 50 × 0,02 × 0,98 = 0,98
σ(X) = √0,98 ≈ 0,99

On s'attend donc à environ 1 ± 1 pièce défectueuse par lot de 50. Trouver 5 défauts serait à 4σ de la moyenne : un signal sérieux que la machine a dérivé.

L'effet de la taille de l'échantillon

C'est le point le plus important pour les applications :

écart-type ABSOLU     : σ = √(np(1-p))        croît comme √n
écart-type RELATIF    : σ/n = √(p(1-p)/n)     décroît comme 1/√n

n = 100    ->  σ/n ≈ 5 %
n = 1 000  ->  σ/n ≈ 1,6 %
n = 10 000 ->  σ/n ≈ 0,5 %

Autrement dit : la précision d'un sondage dépend de la taille de l'échantillon, pas de celle de la population. Interroger 1000 personnes donne la même précision pour une ville de 50 000 habitants que pour un pays de 60 millions — un résultat contre-intuitif, mais c'est bien ce que dit la formule.

Et pour diviser la marge d'erreur par deux, il faut quadrupler l'échantillon. C'est pourquoi les sondages plafonnent en pratique autour de 1000 personnes : au-delà, le coût croît beaucoup plus vite que le gain de précision.

L'approximation normale

Quand n est grand, la loi binomiale prend une forme de cloche que l'on remplace avantageusement par une loi normale de mêmes paramètres :

B(n ; p)  ≈  N( np , np(1-p) )        pour n grand
                                       (en pratique np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5)

   B(100 ; 0,5)                       la cloche continue qui l'épouse
                                          ___
      ▁▂▃▅▇█▇▅▃▂▁              ≈       __/   \__
     40   50   60                     40   50   60

C'est l'objet du cours sur la loi normale, et la raison pour laquelle celle-ci apparaît partout.

En résumé

• E(X) = np — évident et démontré par la linéarité de l'espérance.
• V(X) = np(1-p) — exige l'indépendance des épreuves.
• L'écart-type absolu croît en √n, l'écart-type relatif décroît en 1/√n.
• La précision d'un sondage dépend de n, pas de la taille de la population.
• Diviser la marge d'erreur par 2 demande de quadrupler l'échantillon.
• Pour n grand, B(n ; p) s'approche par une loi normale.