Utiliser la loi binomiale

Décider à partir d'un échantillon

La loi binomiale ne sert pas qu'à calculer : elle sert à décider. C'est le point de contact entre les probabilités et la statistique.

Le raisonnement du seuil

Une entreprise annonce que 5 % de ses pièces sont défectueuses. Un lot de 20 pièces en contient 4. Faut-il la croire ?

Étape 1 — supposer l'annonce vraie. Si p = 0,05, alors X ~ B(20 ; 0,05).

Étape 2 — calculer la probabilité de ce qu'on observe, ou de pire.

E(X) = 20 × 0,05 = 1 pièce attendue

P(X ≥ 3) ≈ 0,075        soit 7,5 %
P(X ≥ 4) ≈ 0,016        soit 1,6 %

Étape 3 — décider. Observer 4 défauts n'arriverait que dans 1,6 % des cas si l'annonce était exacte. C'est peu : on est fondé à douter du taux annoncé.

   probabilité
       |  █
       |  █  █
       |  █  █  █
       |  █  █  █  █  ▁  ▁          <- observé ici : très à droite
       +--0--1--2--3--4--5---> nombre de défauts
                        ^
              zone improbable si p = 0,05

Ce raisonnement — supposer une hypothèse, calculer la probabilité de l'observation sous cette hypothèse, rejeter si elle est trop faible — est le squelette de tout test statistique. Le seuil retenu (souvent 5 %) est une convention, pas une vérité.

Ce que le calcul ne dit pas

Une probabilité faible ne prouve rien : elle rend l'hypothèse peu plausible. Deux erreurs restent possibles :

rejeter une annonce POURTANT VRAIE      ->  erreur de type I  (fausse alerte)
accepter une annonce POURTANT FAUSSE    ->  erreur de type II (défaut manqué)

Baisser le seuil réduit les fausses alertes mais laisse passer plus de vrais défauts. Aucun réglage ne supprime les deux à la fois : c'est un arbitrage, tranché selon le coût de chaque erreur.

Les domaines d'application

Contrôle qualité   :  nombre de défauts dans un lot
Sondages           :  nombre de « oui » dans un échantillon
Essais cliniques   :  nombre de patients guéris sous traitement
Fiabilité          :  nombre de composants tombés en panne
Génétique          :  nombre de descendants portant un caractère

Dans tous ces cas, le modèle est le même : n épreuves indépendantes, deux issues, une probabilité p constante.

Quand ne PAS l'utiliser

C'est aussi important que de savoir l'appliquer :

Tirage SANS remise dans une petite population
   -> p change à chaque tirage : c'est la loi HYPERGÉOMÉTRIQUE
   -> tolérable si l'échantillon est < 10 % de la population

Épreuves DÉPENDANTES
   -> contagion, effet d'entraînement, pièces issues de la même machine
      déréglée : l'indépendance tombe, la binomiale sous-estime le risque

Probabilité VARIABLE
   -> une machine qui s'use voit son p augmenter avec le temps

Comptage sur une durée, sans nombre d'épreuves fixé
   -> appels reçus dans une heure : c'est la loi de POISSON

L'erreur la plus coûteuse dans la pratique est la troisième : supposer l'indépendance quand elle n'existe pas. C'est ce qui a fait sous-estimer le risque de défauts corrélés dans plusieurs crises industrielles et financières — les événements « improbables » cessent de l'être dès qu'ils surviennent ensemble.

En résumé