Sens de variation et symetrie

Une fonction decroissante sur chaque intervalle

La fonction inverse f(x) = 1/x est decroissante sur ]-infini ; 0[ et decroissante sur ]0 ; +infini[.

Attention : elle n'est PAS decroissante sur R* tout entier, car il y a une rupture en 0. Par exemple f(-1) = -1 et f(1) = 1 : on ne peut pas comparer directement des valeurs situees de part et d'autre de 0.

Regle de comparaison

Pour tous a et b non nuls de meme signe, si a < b alors 1/a >= 1/b (l'inegalite s'inverse quand on prend l'inverse, car la fonction est decroissante sur chaque intervalle).

Exemple : si 2 <= x <= 5, alors 1/5 <= 1/x <= 1/2.

Une fonction impaire

f est impaire : pour tout x non nul, f(-x) = -f(x). Verification :

f(-x) = 1/(-x) = -(1/x) = -f(x)

Cela signifie que la courbe est symetrique par rapport a l'origine O du repere (symetrie centrale, ou rotation de 180 degres).

Consequence graphique

Si on connait la courbe pour x > 0, on obtient celle pour x < 0 par cette symetrie centrale de centre O, sans avoir besoin de recalculer des valeurs.

Piege classique

Beaucoup d'eleves pensent a tort que f est decroissante sur R* en entier, et en concluent par exemple que 1/(-2) < 1/(3). C'est faux : il faut toujours verifier que les deux nombres compares sont de meme signe avant d'appliquer la regle de decroissance sur un intervalle.