Resoudre des equations et inequations avec 1/x

Equations du type 1/x = k

Pour resoudre 1/x = k (avec k different de 0), on multiplie les deux membres par x (x non nul) :

1 = kx -> x = 1/k

Exemple : 1/x = 3 donne x = 1/3.

Attention : si k = 0, l'equation 1/x = 0 n'a AUCUNE solution, car 1/x n'est jamais nul, quelle que soit la valeur de x.

Equations du type 1/x = 1/a

Si 1/x = 1/a (avec a non nul), alors x = a est l'unique solution, a condition que x reste non nul.

Inequations du type 1/x > 0

Le signe de 1/x est le meme que celui de x. Donc :

• 1/x > 0 equivaut a x > 0
• 1/x < 0 equivaut a x < 0

Inequations du type 1/x > k (piege !)

Pour resoudre 1/x > 2 par exemple, on ne peut PAS multiplier par x directement sans connaitre son signe : le sens de l'inegalite depend du signe de x. La methode sure consiste a ramener a une seule fraction comparee a 0 :

1/x - 2 > 0 -> (1 - 2x)/x > 0

On etudie ensuite le signe du numerateur et du denominateur separement dans un tableau de signes, puis on conclut sur le signe du quotient.

Piege classique

Ne jamais multiplier une inequation par x sans savoir si x est positif ou negatif : le sens de l'inegalite change selon le signe. Il faut toujours ramener l'inequation a un seul quotient compare a 0 avant de conclure.