Proprietes algebriques et limites

Les regles de calcul

Pour tous reels a et b :

• e^(a+b) = e^a * e^b
• e^(-a) = 1 / e^a
• e^(a-b) = e^a / e^b
• (e^a)^n = e^(a*n), pour n entier

Ces regles permettent de simplifier des expressions sans calculatrice.

Exemple

Simplifions A = e^(2x+3) / e^(x+3) :

A = e^(2x+3-(x+3)) = e^(2x+3-x-3) = e^x

Derivee d'une composee

Si u est une fonction derivable, alors (e^u)' = u' * e^u. Par exemple, si f(x) = e^(3x+1), alors f'(x) = 3 * e^(3x+1).

Limites de reference

Limite	Resultat
lim x->+infini e^x	+infini
lim x->-infini e^x	0
lim x->+infini e^x / x	+infini (croissance comparee)
lim x->-infini x * e^x	0

Ces limites de croissance comparee signifient que l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances de x en +infini.

Piege classique

Une erreur frequente est d'ecrire e^(a+b) = e^a + e^b : c'est FAUX. L'exponentielle transforme les sommes en produits, pas l'inverse. De meme, e^(a*b) n'est pas egal a e^a * e^b en general.

A retenir

• e^(a+b) = e^a * e^b (jamais e^a + e^b).
• (e^u)' = u' * e^u.
• En +infini, exp(x) domine toujours x^n.