Naissance de la fonction exponentielle

Un probleme de derivee

On cherche une fonction f, definie et derivable sur R, telle que :

f' = f et f(0) = 1

Cette equation dit que f est sa propre derivee. On admet qu'il existe une unique fonction verifiant cette propriete : on l'appelle la fonction exponentielle, notee exp. On pose e = exp(1), un nombre irrationnel dont une valeur approchee est e ~ 2,718.

Notation exponentielle

On note souvent exp(x) = e^x. Cette notation est justifiee par les proprietes algebriques de exp, qui ressemblent aux regles des puissances : e^0 = 1, e^1 = e, e^(a+b) = e^a * e^b.

Premieres valeurs

x	-1	0	1	2
e^x	1/e ~ 0,37	1	e ~ 2,72	e^2 ~ 7,39

Signe et sens de variation

Comme f' = f et que f(0) = 1 > 0, on montre que f(x) > 0 pour tout reel x (une fonction derivable qui s'annulerait changerait de signe, ce qui contredirait f' = f). De plus f' = f > 0, donc f est strictement croissante sur R.

Piege classique

Ne confondez pas e^x (toujours strictement positif) avec x^2 (positif mais qui peut s'annuler). L'exponentielle ne s'annule JAMAIS : l'equation e^x = 0 n'a aucune solution, quelle que soit la valeur de x.

A retenir

• exp est l'unique fonction telle que exp' = exp et exp(0) = 1.
• e^x > 0 pour tout x reel.
• exp est strictement croissante sur R.