Etude d'une fonction avec exponentielle

Methode generale

Pour etudier une fonction du type f(x) = u(x) * e^(v(x)), on suit ces etapes : determiner le domaine de definition, calculer f'(x) grace a la formule du produit et a (e^v)' = v' * e^v, etudier le signe de f'(x) (en utilisant que e^v(x) > 0 toujours), puis dresser le tableau de variations.

Exemple complet

Soit f(x) = x * e^(-x) sur R. Calculons f' :

f'(x) = 1 * e^(-x) + x * (-1) * e^(-x) = e^(-x) * (1 - x)

Comme e^(-x) > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de (1 - x) :

x	-infini	...	1	...	+infini
f'(x)		+	0	-
f(x)		croissante	max = 1/e	decroissante

f admet donc un maximum en x = 1, avec f(1) = 1 * e^(-1) = 1/e.

Comportement aux bornes

Grace aux limites de croissance comparee, lim x->+infini x * e^(-x) = 0 (l'exponentielle l'emporte), et lim x->-infini x * e^(-x) = -infini.

Piege classique

Quand on derive un produit u(x) * e^(v(x)), n'oubliez pas la regle du produit : f' = u' * e^v + u * v' * e^v. Oublier le second terme est une erreur tres frequente.

A retenir

• e^v(x) ne s'annule jamais : il ne change pas le signe de f'.
• Toujours utiliser la formule du produit pour deriver u(x) * e^(v(x)).
• Les limites de croissance comparee resolvent les formes indeterminees avec exp.