Equations et inequations exponentielles

Principe fondamental

Comme la fonction exp est strictement croissante sur R (donc injective), pour tous reels a et b :

e^a = e^b <=> a = b

e^a < e^b <=> a < b

Cela permet de resoudre des equations et inequations en comparant directement les exposants.

Exemple d'equation

Resolvons e^(2x-1) = e^(x+3) :

e^(2x-1) = e^(x+3) <=> 2x - 1 = x + 3 <=> x = 4

L'ensemble solution est S = {4}.

Exemple avec e^x = k

Resolvons e^x = 5. Comme 5 > 0, une solution existe : x = ln(5) (le logarithme neperien, fonction reciproque de exp, sera vu plus tard). Si l'equation etait e^x = -3, il n'y aurait aucune solution car e^x > 0 toujours.

Exemple d'inequation

Resolvons e^(3x) <= e^(x+4) :

e^(3x) <= e^(x+4) <=> 3x <= x + 4 <=> 2x <= 4 <=> x <= 2

L'ensemble solution est S = ]-infini ; 2].

Piege classique

Ne divisez ou multipliez jamais une inequation par e^x sans reflechir au signe : en realite e^x est toujours strictement positif, donc on peut multiplier par e^x sans jamais changer le sens de l'inequation. C'est un avantage a bien utiliser, mais il faut le justifier.

A retenir

• e^a = e^b equivaut a a = b.
• e^a < e^b equivaut a a < b.
• Une equation e^x = k avec k <= 0 n'a jamais de solution.