Taux de variation et nombre derive

Pourquoi parler de vitesse de variation ?

Quand une fonction f decrit une position, une temperature ou un cout, on veut souvent savoir a quelle vitesse elle varie a un instant precis. C'est tout l'objet du nombre derive.

Le taux de variation

Entre deux points a et a+h (h different de 0), le taux de variation de f est :

taux = (f(a+h) - f(a)) / h

Geometriquement, c'est la pente de la droite qui relie les points (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)) sur la courbe : on parle de droite secante.

Le nombre derive

Si, quand h se rapproche de 0, ce taux de variation se rapproche d'un nombre fixe L, on dit que f est derivable en a et que L est le nombre derive de f en a, note f'(a) :

f'(a) = limite quand h -> 0 de (f(a+h) - f(a)) / h

Exemple concret

Soit f(x) = x^2 et a = 3. Calculons le taux de variation :

(f(3+h) - f(3)) / h = ((3+h)^2 - 9) / h = (9 + 6h + h^2 - 9) / h = (6h + h^2) / h = 6 + h

Quand h -> 0, ce taux tend vers 6. Donc f'(3) = 6 : au voisinage de x = 3, la fonction x^2 varie avec une pente instantanee de 6.

Tableau recapitulatif

Notion	Formule	Interpretation
Taux de variation	(f(a+h)-f(a))/h	Pente d'une secante
Nombre derive	limite du taux quand h->0	Pente instantanee en a

Piege classique

Ne confonds pas f'(a), un NOMBRE (la valeur de la pente en un point precis), avec la fonction derivee f', qui associe a chaque x le nombre derive f'(x). Attention aussi : une fonction peut ne pas etre derivable en un point (par exemple |x| en 0), meme si elle y est continue.