Tangente a une courbe

De la secante a la tangente

Quand h tend vers 0, la droite secante passant par (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)) se rapproche d'une position limite : la tangente a la courbe de f au point d'abscisse a.

Equation de la tangente

Si f est derivable en a, la tangente au point A(a, f(a)) a pour equation :

y = f'(a) * (x - a) + f(a)

Cette droite passe par le point A et a pour coefficient directeur (pente) f'(a).

Exemple concret

Reprenons f(x) = x^2, avec a = 3. On a f(3) = 9 et on a trouve f'(3) = 6. L'equation de la tangente au point (3, 9) est donc :

y = 6 * (x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9

Si x = 4, la tangente donne y = 24 - 9 = 15, alors que f(4) = 16 : la tangente approche bien la courbe pres de x = 3, mais s'en ecarte quand on s'eloigne.

Lire un signe grace a la tangente

• Si f'(a) > 0, la tangente monte : f est localement croissante en a.
• Si f'(a) < 0, la tangente descend : f est localement decroissante en a.
• Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale : a est un point ou f peut avoir un extremum (maximum ou minimum local).

Piege classique

Une tangente horizontale (f'(a) = 0) ne garantit pas toujours un extremum : pense a f(x) = x^3 en a = 0, ou f'(0) = 0 mais la courbe traverse sa tangente sans faire de maximum ni de minimum (c'est un point d'inflexion). Il faut toujours verifier le changement de signe de f' avant de conclure.