Fonction derivee et applications

Fonctions derivees usuelles

De f'(a) a la fonction f'

Lorsque f est derivable en tout point d'un intervalle, on peut definir une nouvelle fonction, la fonction derivee f', qui a chaque x associe le nombre derive f'(x). Pour eviter de refaire le calcul de limite a chaque fois, on utilise des formules connues par coeur.

Derivees des fonctions de reference

Fonction f(x)	Derivee f'(x)	Domaine de validite
k (constante)	0	tout reel
x	1	tout reel
x^2	2x	tout reel
x^n (n entier >= 1)	n * x^(n-1)	tout reel
1/x	-1/x^2	x different de 0
sqrt(x)	1/(2*sqrt(x))	x > 0

Operations sur les derivees

Soit u et v deux fonctions derivables, et k un reel constant :

(u + v)' = u' + v'
(k * u)' = k * u'
(u * v)' = u' * v + u * v'
(u/v)' = (u' * v - u * v') / v^2 (si v ne s'annule pas)

Exemple concret

Derivons f(x) = 3x^2 + 5x - 7 :

f'(x) = 3 * 2x + 5 * 1 - 0 = 6x + 5

Autre exemple avec un produit : g(x) = x^2 * (x + 1). On pose u = x^2 (u' = 2x) et v = x + 1 (v' = 1) :

g'(x) = 2x * (x+1) + x^2 * 1 = 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x

Piege classique