Sens de variation et derivee

Le lien entre signe de f' et variations de f

Le resultat central de ce chapitre : le signe de la fonction derivee renseigne directement sur le sens de variation de f sur un intervalle.

• Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
• Si f'(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est strictement decroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 sur un intervalle I, alors f est constante sur I.

Methode pour etudier les variations

1. Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) (tableau de signes, factorisation, etc.).
3. En deduire le tableau de variations de f.
4. Reperer les extremums locaux : ils apparaissent la ou f' change de signe (et s'annule).

Exemple concret

Soit f(x) = x^2 - 4x + 3, definie sur R. On calcule f'(x) = 2x - 4.

f'(x) = 0 <=> 2x - 4 = 0 <=> x = 2

f'(x) > 0 <=> 2x - 4 > 0 <=> x > 2, et donc f'(x) < 0 pour x < 2.

x	-infini	2	+infini
f'(x)	negatif	0	positif
f(x)	decroissante	minimum : f(2) = -1	croissante

f admet donc un minimum en x = 2, qui vaut f(2) = 4 - 8 + 3 = -1.

Piege classique

Un seul changement de signe de f' en un point suffit pour un extremum local, mais si f' s'annule sans changer de signe (par exemple f(x) = x^3 en x = 0, avec f'(x) = 3x^2 >= 0 partout), il n'y a PAS d'extremum : la fonction reste croissante malgre f'(0) = 0. Verifie toujours le changement de signe, pas seulement l'annulation.