Definition, image et representation graphique de la fonction carree
Variations et representation graphique
La parabole
La representation graphique de f(x) = x^2 dans un repere est une courbe appelee parabole, de sommet l'origine O(0 ; 0). Elle est symetrique par rapport a l'axe des ordonnees, car f(-x) = f(x) pour tout reel x.
Tableau de valeurs
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| x^2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Sens de variation
La fonction carree n'est pas monotone sur R tout entier : elle change de comportement en 0.
- Sur l'intervalle ]-infini ; 0], f est decroissante : si a <= b <= 0, alors f(a) >= f(b).
- Sur l'intervalle [0 ; +infini[, f est croissante : si 0 <= a <= b, alors f(a) <= f(b).
On resume cela dans un tableau de variations : f decroit de +infini a 0 quand x va de -infini a 0, puis croit de 0 a +infini quand x va de 0 a +infini.
Minimum de la fonction
Le minimum de f sur R est 0, atteint uniquement en x = 0. La fonction carree n'a pas de maximum : ses valeurs peuvent devenir aussi grandes que l'on veut.
Piege a eviter
Ne dites jamais que "la fonction carree est croissante sur R" : c'est faux. Par exemple f(-5) = 25 et f(-1) = 1, donc f(-5) > f(-1) alors que -5 < -1. Il faut toujours preciser l'intervalle sur lequel on parle de la variation.