Equations x^2 = a et applications concretes

Resoudre x^2 = a

Trois cas se presentent, selon le signe de a :

Valeur de a	Solutions de x^2 = a
a > 0	x = sqrt(a) ou x = -sqrt(a)
a = 0	x = 0 (solution unique)
a < 0	aucune solution

Exemple : x^2 = 25 donne x = 5 ou x = -5. L'ensemble des solutions est S = {-5 ; 5}.

Application : aire d'un carre

Si un carre a pour cote c, son aire vaut A = c^2. Cette formule est une application directe de la fonction carree, avec obligatoirement c > 0 (une longueur ne peut pas etre negative).

Exemple : un carre de cote 7 cm a une aire de 7^2 = 49 cm^2. Inversement, si l'aire vaut 81 cm^2, le cote mesure sqrt(81) = 9 cm ; on ne garde que la solution positive, car c'est une longueur.

Application : la chute libre

En physique, la distance parcourue en chute libre est proportionnelle au carre du temps ecoule : d = k x t^2. Cet exemple montre que la fonction carree est fondamentale bien au-dela des mathematiques pures.

Piege a eviter

Dans un contexte physique ou geometrique, on ne garde en general que la solution positive de x^2 = a, car x represente une longueur ou une duree. En revanche, en mathematiques pures, sans contexte particulier, il faut toujours donner les deux solutions.