Comparer des carres et resoudre des inequations

Comparer deux carres

Comparer x^2 et y^2 n'est pas toujours intuitif car cela depend du signe des nombres compares. Voici les regles utiles :

• Si 0 <= a <= b, alors a^2 <= b^2 (la fonction carree conserve l'ordre sur les nombres positifs).
• Si a <= b <= 0, alors a^2 >= b^2 (l'ordre est inverse sur les nombres negatifs).
• Si a <= 0 <= b, on ne peut rien conclure sans comparer directement les valeurs absolues de a et b.

Exemple : comparons (-6)^2 et 4^2. Ici -6 <= 0 <= 4, on compare alors |-6| = 6 et 4 : puisque 6 > 4, on a (-6)^2 > 4^2, soit 36 > 16.

Resoudre x^2 <= a

Pour resoudre une inequation du type x^2 <= k (avec k > 0) : x^2 <= k <=> -sqrt(k) <= x <= sqrt(k)

Exemple : x^2 <= 9 <=> -3 <= x <= 3, soit S = [-3 ; 3].

Resoudre x^2 >= a

x^2 >= k (avec k > 0) <=> x <= -sqrt(k) ou x >= sqrt(k)

Exemple : x^2 >= 4 <=> x <= -2 ou x >= 2, soit S = ]-infini ; -2] U [2 ; +infini[.

Piege classique

Pour resoudre x^2 <= 9, ne dites surtout pas "x <= 3" en oubliant la borne inferieure -3 : la moitie des solutions serait perdue ! De meme, ne divisez jamais une inegalite par x sans savoir si x est positif ou negatif, car le sens de l'inegalite peut alors s'inverser.