Renverser la dérivation en chaîne

Dériver une fonction composée se fait avec la règle de la chaîne : la dérivée de F(u(x)) est F'(u(x)) · u'(x). Le changement de variable n'est rien d'autre que cette règle lue à l'envers, pour intégrer.

L'idée : quand une intégrale contient une fonction composée f(u(x)) multipliée par la dérivée u'(x) de la fonction intérieure, on peut « renommer » u(x) en une simple lettre u.

   ∫ f(u(x)) · u'(x) dx  =  ∫ f(u) du

Tout le travail consiste à repérer le couple (u, u') dans l'intégrande : une fonction intérieure u, et sa dérivée u' présente en facteur.

   integrande      ->   on pose u = ...   et   du = u'(x) dx
   f(u(x)) · u'(x)                             (la dérivée « fournit » le du)

Un exemple lumineux : l'intégrale de 2x · e^(x²). Ici, la fonction intérieure est u = x², et sa dérivée u' = 2x est justement présente en facteur. C'est le signal parfait pour un changement de variable.

   u = x²      ->      du = 2x dx
   ∫ 2x · e^(x²) dx   devient   ∫ e^u du

L'intégrale compliquée se transforme en une intégrale élémentaire. La difficulté n'est jamais le calcul lui-même : c'est de repérer le bon u, celui dont la dérivée est déjà là. Une fois ce réflexe acquis, une immense famille d'intégrales devient accessible.