Renverser la dérivation en chaîne

Dériver une fonction composée se fait avec la règle de la chaîne : la dérivée de $F(u(x))$ est $F'(u(x))\,u'(x)$. Le changement de variable n'est rien d'autre que cette règle lue à l'envers, pour intégrer.

L'idée : quand une intégrale contient une fonction composée $f(u(x))$ multipliée par la dérivée $u'(x)$ de la fonction intérieure, on peut « renommer » $u(x)$ en une simple lettre $u$.

$$\int f(u(x))\,u'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(u)\,\mathrm{d}u$$

Tout le travail consiste à repérer le couple $(u, u')$ dans l'intégrande : une fonction intérieure $u$, et sa dérivée $u'$ présente en facteur.

Dans l'intégrande	On pose	Et alors
$f(u(x))\,u'(x)$	$u = u(x)$	$\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x$

C'est la dérivée qui « fournit » le $\mathrm{d}u$.

Un exemple lumineux : l'intégrale de $2x\,e^{x^2}$. Ici, la fonction intérieure est $u = x^2$, et sa dérivée $u' = 2x$ est justement présente en facteur. C'est le signal parfait pour un changement de variable.

$$u = x^2 \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x \qquad\text{donc}\qquad \int 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x = \int e^u\,\mathrm{d}u$$

L'intégrale compliquée se transforme en une intégrale élémentaire. La difficulté n'est jamais le calcul lui-même : c'est de repérer le bon $u$, celui dont la dérivée est déjà là. Une fois ce réflexe acquis, une immense famille d'intégrales devient accessible.