Reconnaître les formes à changement de variable

Avec un peu d'entraînement, certaines formes crient « changement de variable ». Deux d'entre elles reviennent sans cesse et méritent d'être connues par cœur.

La forme $\dfrac{u'}{u}$. Quand l'intégrande est une fraction dont le numérateur est la dérivée du dénominateur, la primitive est un logarithme :

$$\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm{d}x = \ln|u(x)| + C$$

Par exemple $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x = \ln\left(x^2+1\right) + C$, car le haut, $2x$, est la dérivée du bas, $x^2+1$. C'est la primitive « en logarithme », à repérer d'un coup d'œil.

La forme $u'u^n$. Quand une puissance de $u$ est multipliée par la dérivée $u'$, on remonte la puissance :

$$\int u'(x)\,u(x)^n\,\mathrm{d}x = \frac{u(x)^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$$

Par exemple $\displaystyle\int 2x\left(x^2+1\right)^3\,\mathrm{d}x = \frac{\left(x^2+1\right)^4}{4} + C$.

Forme reconnue	Primitive
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln\lvert u \rvert$
$u'u^n$, avec $n \neq -1$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$u'e^u$	$e^u$
$u'\cos u$	$\sin u$

Le fil conducteur est toujours le même : chercher, dans l'intégrande, une fonction intérieure $u$ accompagnée de sa dérivée $u'$. Si tu la trouves, le changement de variable la fait fondre. Sinon, il faudra une autre technique — intégration par parties, décomposition… Savoir reconnaître la forme est la moitié du travail.