Reconnaître les formes à changement de variable

Avec un peu d'entraînement, certaines formes crient « changement de variable ». Deux d'entre elles reviennent sans cesse et méritent d'être connues par cœur.

La forme u'/u. Quand l'intégrande est une fraction dont le numérateur est la dérivée du dénominateur, la primitive est un logarithme :

   ∫ u'(x)/u(x) dx = ln|u(x)| + C

Par exemple ∫ 2x/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C, car le haut (2x) est la dérivée du bas (x²+1). C'est la primitive « en logarithme » à repérer d'un coup d'œil.

La forme u'·uⁿ. Quand une puissance de u est multipliée par la dérivée u', on remonte la puissance :

   ∫ u'(x)·u(x)ⁿ dx = u(x)^(n+1) / (n+1) + C        (pour n ≠ −1)

Par exemple ∫ 2x·(x²+1)³ dx = (x²+1)⁴/4 + C.

   forme reconnue       primitive
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   u'/u                 ln|u|
   u'·uⁿ  (n≠−1)        u^(n+1)/(n+1)
   u'·e^u               e^u
   u'·cos(u)            sin(u)

Le fil conducteur est toujours le même : chercher, dans l'intégrande, une fonction intérieure u accompagnée de sa dérivée u'. Si tu la trouves, le changement de variable la fait fondre. Sinon, il faudra une autre technique (intégration par parties, décomposition…). Savoir reconnaître la forme est la moitié du travail.