Le changement de variable dans une intégrale définie

Pour une intégrale définie, avec des bornes, le changement de variable réserve un piège utile : les bornes portent sur $x$, mais après substitution on intègre en $u$. Il faut donc changer aussi les bornes.

La règle : les nouvelles bornes sont les valeurs de $u$ aux anciennes bornes.

$$\int_a^b f(u(x))\,u'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\mathrm{d}u$$

Calculons $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$. On pose $u = x^2$, donc :

Ancienne borne	Nouvelle borne
$x = 0$	$u = 0^2 = 0$
$x = 1$	$u = 1^2 = 1$

L'intégrale devient, entièrement en $u$ :

$$\int_0^1 e^u\,\mathrm{d}u = \left[e^u\right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1{,}718$$

L'avantage est net : en changeant les bornes, on n'a plus besoin de revenir à $x$ à la fin. On calcule directement avec les bornes en $u$. C'est plus rapide et cela évite l'oubli fréquent du retour à la variable initiale.

Type d'intégrale	Ce qu'on fait
définie	transformer les bornes, ne jamais revenir à $x$
indéfinie	mêmes étapes, mais revenir à $x$ à la fin

Retiens ce réflexe : dès qu'il y a des bornes, transporte-les avec le changement de variable. C'est l'erreur la plus classique, et la plus facile à éviter.