Le changement de variable dans une intégrale définie

Pour une intégrale définie (avec des bornes), le changement de variable réserve un piège utile : les bornes portent sur x, mais après substitution on intègre en u. Il faut donc changer aussi les bornes.

La règle : les nouvelles bornes sont les valeurs de u aux anciennes bornes.

   ∫ (de a à b) f(u(x))·u'(x) dx  =  ∫ (de u(a) à u(b)) f(u) du

Calculons ∫ (de 0 à 1) 2x·e^(x²) dx. On pose u = x², donc :

   quand x = 0  ->  u = 0² = 0        (nouvelle borne basse)
   quand x = 1  ->  u = 1² = 1        (nouvelle borne haute)

L'intégrale devient, entièrement en u :

   ∫ (de 0 à 1) e^u du = [ e^u ] de 0 a 1 = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1,718

L'avantage est net : en changeant les bornes, on n'a plus besoin de revenir à x à la fin. On calcule directement avec les bornes en u. C'est plus rapide et cela évite l'oubli fréquent du retour à la variable initiale.

   integrale definie :  transformer les bornes  ->  ne jamais revenir a x
   integrale indefinie : garder les memes etapes ->  revenir a x a la fin

Retiens ce réflexe : dès qu'il y a des bornes, transporte-les avec le changement de variable. C'est l'erreur la plus classique, et la plus facile à éviter.