La méthode pas à pas

Appliquons la méthode complète sur l'exemple ∫ 2x · e^(x²) dx. Quatre étapes, toujours les mêmes.

   1. POSER      u = x²
   2. DIFFERENTIER   du = 2x dx      (on dérive u, puis on « multiplie par dx »)
   3. SUBSTITUER   ∫ 2x·e^(x²) dx = ∫ e^u du
   4. INTEGRER puis REVENIR a x :
                 ∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C

L'étape 2 est la clé. Différentier u = x² donne du/dx = 2x, que l'on réarrange en du = 2x dx. Ce petit bloc « 2x dx » est exactement ce qui apparaît dans l'intégrale : on le remplace d'un coup par « du ». C'est cette substitution qui fait disparaître le x.

Attention à l'étape 4 : après avoir intégré en u, il faut revenir à la variable de départ x en remplaçant u par son expression. Une primitive doit s'exprimer en x, pas en u.

Que faire si le facteur n'est pas exactement u' ? On ajuste par une constante. Pour ∫ x · e^(x²) dx, il manque le facteur 2 : on écrit x dx = (1/2)·(2x dx) = (1/2) du.

   ∫ x · e^(x²) dx = (1/2) ∫ e^u du = (1/2) e^(x²) + C

Retiens le déroulé : poser u, en tirer du, substituer, intégrer, revenir à x. C'est mécanique une fois le bon u repéré.