La méthode pas à pas

Appliquons la méthode complète sur l'exemple $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$. Quatre étapes, toujours les mêmes.

Étape	Sur cet exemple
1. Poser	$u = x^2$
2. Différentier	$\mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x$
3. Substituer	$\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x = \int e^u\,\mathrm{d}u$
4. Intégrer, puis revenir à $x$	$\displaystyle\int e^u\,\mathrm{d}u = e^u + C = e^{x^2} + C$

L'étape 2 est la clé. Différentier $u = x^2$ donne $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x$, que l'on réarrange en $\mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x$. Ce petit bloc $2x\,\mathrm{d}x$ est exactement ce qui apparaît dans l'intégrale : on le remplace d'un coup par $\mathrm{d}u$. C'est cette substitution qui fait disparaître le $x$.

Attention à l'étape 4 : après avoir intégré en $u$, il faut revenir à la variable de départ $x$ en remplaçant $u$ par son expression. Une primitive doit s'exprimer en $x$, pas en $u$.

Que faire si le facteur n'est pas exactement $u'$ ? On ajuste par une constante. Pour $\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$, il manque le facteur $2$ : on écrit $x\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{2}\left(2x\,\mathrm{d}x\right) = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{d}u$.

$$\int x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int e^u\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

Retiens le déroulé : poser $u$, en tirer $\mathrm{d}u$, substituer, intégrer, revenir à $x$. C'est mécanique une fois le bon $u$ repéré.