Pourquoi approcher ?

Le calcul intégral repose sur les primitives : pour évaluer ∫ f, on cherche une fonction F telle que F' = f, puis on calcule F(b) − F(a). Mais un fait dérangeant : beaucoup de fonctions n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

L'exemple le plus célèbre est la « cloche » des probabilités :

   f(x) = e^(−x²)        n'a AUCUNE primitive en termes de fonctions usuelles

Impossible d'écrire sa primitive avec des exponentielles, des logarithmes ou des polynômes. Pourtant, l'aire sous cette courbe existe bel et bien, et elle est fondamentale (loi normale, physique, statistiques). Il faut donc la calculer autrement.

C'est le rôle de l'intégration numérique : au lieu de chercher une formule exacte, on approche la valeur de l'intégrale par un calcul direct, à partir de quelques valeurs de f.

   integrale exacte      : ∫ f = F(b) − F(a)     (si une primitive F existe)
   integration numerique : ∫ f ≈ combinaison de f(x_0), f(x_1), ..., f(x_n)

L'idée reprend celle des sommes de Riemann : découper [a ; b] en n morceaux, évaluer f en quelques points, et combiner ces valeurs. Toute la finesse est dans la façon de combiner : plus elle est astucieuse, plus l'approximation est bonne à nombre de points égal.

C'est ainsi que fonctionnent les calculatrices et les ordinateurs quand tu leur demandes une intégrale « impossible ». Retiens le point de départ : quand la primitive manque, on calcule l'aire numériquement, avec des méthodes de plus en plus précises.