Pourquoi approcher ?

Le calcul intégral repose sur les primitives : pour évaluer $\displaystyle\int f$, on cherche une fonction $F$ telle que $F' = f$, puis on calcule $F(b) - F(a)$. Mais un fait dérangeant demeure : beaucoup de fonctions n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

L'exemple le plus célèbre est la « cloche » des probabilités :

$$f(x) = e^{-x^2}$$

Cette fonction n'a aucune primitive exprimable en termes de fonctions usuelles : impossible de l'écrire avec des exponentielles, des logarithmes ou des polynômes. Pourtant, l'aire sous cette courbe existe bel et bien, et elle est fondamentale — loi normale, physique, statistiques. Il faut donc la calculer autrement.

C'est le rôle de l'intégration numérique : au lieu de chercher une formule exacte, on approche la valeur de l'intégrale par un calcul direct, à partir de quelques valeurs de $f$.

Approche	Ce qu'on calcule
intégrale exacte	$\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)$, si une primitive $F$ existe
intégration numérique	$\displaystyle\int_a^b f \approx$ une combinaison de $f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_n)$

L'idée reprend celle des sommes de Riemann : découper $[a \,;\, b]$ en $n$ morceaux, évaluer $f$ en quelques points, et combiner ces valeurs. Toute la finesse est dans la façon de combiner : plus elle est astucieuse, meilleure est l'approximation à nombre de points égal.

C'est ainsi que fonctionnent les calculatrices et les ordinateurs quand tu leur demandes une intégrale « impossible ». Retiens le point de départ : quand la primitive manque, on calcule l'aire numériquement, avec des méthodes de plus en plus précises.