La méthode des trapèzes

Première amélioration : au lieu d'un rectangle à sommet plat, on relie par un segment les deux valeurs de $f$ aux bords de chaque morceau. On approche alors l'aire par des trapèzes, qui épousent bien mieux la courbe puisque le segment suit la pente locale.

L'aire d'un trapèze vaut $\dfrac{\text{petite base} + \text{grande base}}{2} \times \text{hauteur}$. En additionnant tous les trapèzes, les valeurs intérieures $f(x_1), \ldots, f(x_{n-1})$ sont comptées deux fois, puisqu'elles servent de bord à deux trapèzes voisins, d'où la formule :

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{\Delta x}{2}\Bigl[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Bigr]$$

Les deux valeurs des extrémités comptent une fois, toutes les valeurs intérieures comptent double : c'est le motif $1, 2, 2, \ldots, 2, 1$.

À nombre de points égal, les trapèzes sont nettement plus précis que les rectangles : l'erreur décroît en $\dfrac{1}{n^2}$ au lieu de $\dfrac{1}{n}$. Diviser l'erreur par $4$ ne demande alors que deux fois plus de points.

Méthode	Sommet	Ordre de l'erreur
rectangles	plat	$\dfrac{1}{n}$
trapèzes	segment incliné	$\dfrac{1}{n^2}$

Retiens le principe : remplacer le plat par une pente qui suit la courbe fait faire un bond à la précision. Reste une dernière idée pour approcher encore mieux — courber le sommet lui-même.