La méthode des trapèzes

Première amélioration : au lieu d'un rectangle à sommet plat, on relie par un segment les deux valeurs de f aux bords de chaque morceau. On approche alors l'aire par des trapèzes, qui épousent bien mieux la courbe.

   f(x)                     rectangle : sommet PLAT (mauvais)
    |       __--‾            trapeze   : sommet INCLINE (bien meilleur)
    |    __/|  |
    |  _/ | |  |             le segment suit la pente de la courbe
    | /   | |  |
    +-----+-+--+--> x

L'aire d'un trapèze est (petite base + grande base)/2 × hauteur. En additionnant tous les trapèzes, les valeurs intérieures f(x₁), …, f(x_{n−1}) sont comptées deux fois (elles servent de bord à deux trapèzes voisins), d'où la formule :

   ∫ ≈ (Δx/2) · [ f(x₀) + 2·f(x₁) + 2·f(x₂) + ... + 2·f(x_{n−1}) + f(xₙ) ]

Les deux valeurs des extrémités comptent une fois, toutes les valeurs intérieures comptent double. C'est le motif « 1, 2, 2, …, 2, 1 ».

À nombre de points égal, les trapèzes sont nettement plus précis que les rectangles : l'erreur décroît en 1/n² (au lieu de 1/n). Diviser l'erreur par 4 ne demande que deux fois plus de points.

   rectangles : erreur ~ 1/n
   trapezes   : erreur ~ 1/n²   (bien mieux, pour le meme effort)

Retiens le principe : remplacer le plat par une pente qui suit la courbe fait faire un bond à la précision. Reste une dernière idée pour approcher encore mieux — courber le sommet lui-même.