La méthode de Simpson

Les trapèzes relient les points par des segments droits. Mais une courbe est… courbe. D'où l'idée géniale de la méthode de Simpson : relier les points par de petits arcs de parabole, qui épousent la courbure.

On regroupe les points trois par trois — il faut donc un nombre pair de morceaux — et, sur chaque paire de morceaux, on fait passer la parabole qui coïncide avec $f$ en ces trois points. L'aire sous ces paraboles donne une approximation remarquable :

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{\Delta x}{3}\Bigl[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Bigr]$$

Le motif des coefficients est caractéristique : $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 1$. Les extrémités comptent $1$, les points d'indice impair comptent $4$, et les points intérieurs d'indice pair comptent $2$.

Méthode	Ce qui approche la courbe	Ordre de l'erreur
rectangles	sommet plat	$\dfrac{1}{n}$
trapèzes	segment droit	$\dfrac{1}{n^2}$
Simpson	arc de parabole	$\dfrac{1}{n^4}$

La précision de Simpson est spectaculaire : l'erreur décroît en $\dfrac{1}{n^4}$. Mieux encore, la méthode donne le résultat exact pour tout polynôme de degré $\leq 3$. Sur $f(x) = x^2$ avec seulement $4$ morceaux, Simpson trouve déjà la valeur exacte $\tfrac{1}{3}$, là où les trapèzes se trompent encore :

Méthode, avec $n = 4$	$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$
trapèzes	$\approx 0{,}34375$
Simpson	$0{,}33333$, valeur exacte

Retiens la progression : plat, puis droit, puis courbe. Chaque niveau colle mieux à $f$, et la précision grimpe en flèche pour le même nombre de points. C'est pour cette raison que Simpson est la méthode par défaut des calculatrices et des logiciels de calcul.