La méthode de Simpson

Les trapèzes relient les points par des segments droits. Mais une courbe est… courbe. L'idée géniale de la méthode de Simpson : relier les points par de petits arcs de parabole, qui épousent la courbure.

On regroupe les points trois par trois (il faut donc un nombre pair de morceaux) et, sur chaque paire de morceaux, on fait passer la parabole qui coïncide avec f en ces trois points. L'aire sous ces paraboles donne une approximation remarquable :

   ∫ ≈ (Δx/3) · [ f(x₀) + 4·f(x₁) + 2·f(x₂) + 4·f(x₃) + ... + 4·f(x_{n−1}) + f(xₙ) ]

Le motif des coefficients est caractéristique : 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1. Les extrémités comptent 1, les points d'indice impair comptent 4, ceux d'indice pair (intérieurs) comptent 2.

   rectangles : sommet plat        erreur ~ 1/n
   trapezes   : segment droit      erreur ~ 1/n²
   Simpson    : arc de parabole    erreur ~ 1/n⁴   (spectaculaire !)

La précision de Simpson est spectaculaire : l'erreur décroît en 1/n⁴. Mieux encore, elle donne le résultat exact pour tout polynôme de degré ≤ 3. Sur f(x) = x² avec seulement 4 morceaux, Simpson trouve déjà la valeur exacte 1/3, là où les trapèzes se trompent encore.

   ∫ de 0 à 1 x² dx :   trapezes (n=4) ≈ 0,34375   |   Simpson (n=4) = 0,33333 (exact)

Retiens la progression : plat → droit → courbe. Chaque niveau colle mieux à f, et la précision grimpe en flèche pour le même nombre de points. Simpson est, pour cette raison, la méthode par défaut des calculatrices et des logiciels de calcul.