La méthode des rectangles

La méthode la plus simple est exactement la somme de Riemann : on remplace l'aire sous la courbe par une somme de rectangles. On découpe $[a \,;\, b]$ en $n$ morceaux de largeur $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$, et sur chacun on dresse un rectangle.

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \Delta x\,\bigl(f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})\bigr)$$

ici avec les valeurs au bord gauche de chaque morceau. Chaque rectangle a pour hauteur la valeur de $f$ à un bord du morceau.

Le défaut saute aux yeux : le sommet plat du rectangle colle mal à la courbe. Il reste des coins vides ou en trop, surtout là où la courbe est pentue. L'erreur peut être notable.

Comment l'améliorer ? En augmentant $n$ : plus les rectangles sont fins, plus l'erreur diminue. Mais la convergence est lente — l'erreur est grossièrement proportionnelle à $\dfrac{1}{n}$, donc pour la diviser par deux, il faut environ deux fois plus de rectangles.

L'idée pour faire mieux, sans multiplier les points, est de remplacer le sommet plat du rectangle par quelque chose qui épouse la courbe : un segment incliné, ce sont les trapèzes, puis un petit arc de parabole, c'est Simpson. C'est l'objet du chapitre suivant : mieux coller à la courbe, et pas seulement la découper plus fin.