La méthode des rectangles

La méthode la plus simple est exactement la somme de Riemann : on remplace l'aire sous la courbe par une somme de rectangles. On découpe [a ; b] en n morceaux de largeur Δx = (b−a)/n, et sur chacun on dresse un rectangle.

   ∫ de a à b f(x) dx  ≈  Δx · ( f(x₀) + f(x₁) + ... + f(x_{n−1}) )

(ici avec les valeurs au bord gauche de chaque morceau). Chaque rectangle a pour hauteur la valeur de f à un bord du morceau.

   f(x)
    |        ___
    |    ___|   |___          les rectangles approchent l'aire,
    |___|   |   |   |__       mais laissent des coins vides
    |   |   |   |   |  |
    +---+---+---+---+--+--> x

Le défaut saute aux yeux : le sommet plat du rectangle colle mal à la courbe. Il reste des « coins » vides ou en trop, surtout là où la courbe est pentue. L'erreur peut être notable.

Comment l'améliorer ? En augmentant n : plus les rectangles sont fins, plus l'erreur diminue. Mais la convergence est lente — pour diviser l'erreur par deux, il faut environ deux fois plus de rectangles.

   plus de rectangles  ->  meilleure approximation, mais lentement
   erreur des rectangles : proportionnelle a 1/n (grosso modo)

L'idée pour faire mieux, sans multiplier les points, est de remplacer le sommet plat du rectangle par quelque chose qui épouse la courbe : un segment incliné (les trapèzes), puis un petit arc de parabole (Simpson). C'est l'objet du chapitre suivant : mieux coller à la courbe, pas seulement la découper plus fin.