Le repliement de spectre et l'idée de la FFT

Quand on échantillonne trop lentement

Si on ne respecte pas la condition de Shannon, une fréquence trop élevée pour la cadence d'échantillonnage ne disparaît pas : elle se fait passer pour une fréquence plus basse. C'est le repliement de spectre (aliasing). Une note aiguë peut ainsi réapparaître, après numérisation, comme une note grave qui n'existait pas.

Echantillonnage trop lent d'une sinusoide rapide :

signal vrai (rapide) :  /\  /\  /\  /\  /\      (haute frequence)
points echantillonnes:  *      *      *        (trop espaces)
signal reconstruit   :  *------*------*         (une fausse sinusoide lente !)

(les memes points echantillonnes collent aussi a une frequence plus basse : la vraie frequence est "repliee")

C'est le même effet qui fait tourner les roues d'une voiture à l'envers au cinéma : la caméra échantillonne trop lentement le mouvement rapide de la roue.

La parade

On place un filtre anti-repliement avant l'échantillonneur, qui coupe toutes les fréquences au-dessus de Fe/2. Ainsi, plus aucune fréquence ne peut se replier, et le signal numérisé reste fidèle.

Calculer le spectre : la FFT

Pour analyser un signal échantillonné, on calcule sa transformée de Fourier discrète (sur les échantillons). Fait naïvement, ce calcul coûte de l'ordre de N² opérations pour N échantillons — vite prohibitif. La FFT (Fast Fourier Transform, transformée de Fourier rapide) est un algorithme astucieux, à base de « diviser pour régner », qui ramène ce coût à environ N log N.

cout du calcul du spectre pour N echantillons :

methode directe :  N^2         (ex. N = 1 000 000 -> 10^12 operations)
FFT             :  N log N      (ex. N = 1 000 000 -> ~2 x 10^7 operations)

(la FFT est des dizaines de milliers de fois plus rapide pour un grand N)

C'est cette efficacité qui rend l'analyse fréquentielle praticable en temps réel, dans ton téléphone comme dans une console de mixage.

Piège classique

Augmenter la fréquence d'échantillonnage après coup ne récupère jamais une information déjà repliée : une fois deux fréquences confondues à la numérisation, aucun traitement ultérieur ne peut les séparer. Le filtre anti-repliement doit agir AVANT l'échantillonnage, jamais après.