L'échantillonnage et le théorème de Shannon

Transformer un signal continu en nombres

Un ordinateur ne peut pas stocker une courbe continue : il en relève la valeur à intervalles réguliers. C'est l'échantillonnage. La fréquence d'échantillonnage Fe est le nombre de mesures par seconde (44 100 Hz pour un CD audio, par exemple). Chaque mesure est un échantillon.

La question cruciale : combien d'échantillons ?

Si on échantillonne trop rarement, on rate les variations rapides du signal et on le déforme. Le théorème de Shannon-Nyquist répond précisément : pour représenter fidèlement un signal dont la fréquence maximale est Fmax, il faut échantillonner à une fréquence strictement supérieure au double de Fmax.

Condition de Shannon :   Fe > 2 x Fmax

(exemple : l'oreille entend jusqu'a ~20 kHz)
(il faut donc Fe > 40 kHz -> les CD utilisent 44,1 kHz, un peu au-dessus)

Pourquoi le facteur 2

Il faut au moins deux points par période de la plus haute fréquence pour repérer sa montée et sa descente. En dessous, deux sinusoïdes de fréquences différentes peuvent passer par exactement les mêmes échantillons : elles deviennent indiscernables, et l'information est perdue pour toujours.

Piège classique

Le théorème parle de la fréquence maximale présente dans le signal, pas de celle qui nous intéresse. Si un signal contient des fréquences au-delà de Fe/2 (par exemple un bruit à haute fréquence), il faut les supprimer par un filtre AVANT d'échantillonner, sinon elles viendront polluer les basses fréquences — c'est le phénomène de repliement de la leçon suivante.