L'idée de Fourier : une somme de sinusoïdes

Une idée renversante

Au début du XIXe siècle, Joseph Fourier avance une idée qui paraît folle : n'importe quel signal périodique, même une forme anguleuse comme un signal carré, peut s'écrire comme une somme de sinusoïdes bien choisies. Ces sinusoïdes ont des fréquences multiples d'une fréquence de base : la fondamentale et ses harmoniques.

Reconstruire un signal carré

En additionnant la fondamentale, puis en ajoutant l'harmonique 3, puis l'harmonique 5, etc., une onde de plus en plus proche d'un signal carré apparaît. Plus on ajoute d'harmoniques, plus les angles se dessinent.

Construction progressive d'un signal carre :

fondamentale seule      :   .-''-.      _.-''-._      (une simple sinusoide)
+ harmonique 3          :   .-""-.__.-""-.            (les creux s'aplatissent)
+ harmoniques 3,5,7...  :   +------+    +------+       (de plus en plus "carre")

(chaque harmonique ajoutee affine les angles ; a l'infini, on obtient le carre parfait)

Le vocabulaire

• La fondamentale fixe la période du signal, sa fréquence de base f.
• Les harmoniques sont les sinusoïdes de fréquence 2f, 3f, 4f... Chacune a sa propre amplitude, qui dit « quelle quantité » de cette fréquence est présente.
• L'ensemble de ces amplitudes constitue la série de Fourier du signal.

Pourquoi c'est si utile

Cette décomposition change tout : au lieu d'étudier un signal compliqué dans le temps, on l'étudie fréquence par fréquence. Régler les graves et les aigus d'une musique, filtrer un bruit, compresser un son ou une image : tout cela consiste à modifier certaines fréquences sans toucher aux autres.

Piège classique

Seuls les signaux périodiques ont une série de Fourier faite d'harmoniques bien séparées (des raies). Un signal quelconque, non périodique, se décompose lui aussi, mais sur un continuum de fréquences : c'est l'objet de la transformée de Fourier, vue à la leçon suivante. Confondre les deux mène à chercher des harmoniques là où il n'y a qu'un spectre continu.