Trouver les bornes : les points d'intersection

Pour calculer une aire entre deux courbes, encore faut-il savoir entre quelles abscisses intégrer. Souvent, les bornes ne sont pas données : ce sont les points d'intersection des deux courbes, là où la région se referme.

On les trouve en résolvant l'équation qui égalise les deux fonctions :

$$f(x) = g(x)$$

dont les solutions donnent les bornes $a$ et $b$.

Exemple. Reprenons $y = x$ et $y = x^2$. Leurs intersections :

$$x = x^2 \iff x^2 - x = 0 \iff x(x - 1) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = 1$$

Les bornes de l'aire sont donc $a = 0$ et $b = 1$ — exactement celles utilisées à la leçon précédente. La région est « fermée » par ces deux points de rencontre.

Attention au croisement

Si les courbes se croisent à l'intérieur de l'intervalle, la courbe du haut et celle du bas échangent leurs rôles. Il faut alors découper à chaque intersection et, sur chaque morceau, soustraire dans le bon ordre : haut moins bas.

La démarche complète tient en trois temps :

1. Résoudre $f(x) = g(x)$ pour obtenir les bornes et les croisements.
2. Sur chaque morceau, repérer la courbe du haut.
3. Intégrer la différence haut moins bas, puis additionner.

Retiens que le plus dur n'est pas l'intégrale, c'est la mise en place : trouver les bornes et savoir qui domine qui. Une fois cela posé, le calcul se déroule tout seul.