Trouver les bornes : les points d'intersection

Pour calculer une aire entre deux courbes, encore faut-il connaître entre quelles abscisses intégrer. Souvent, les bornes ne sont pas données : ce sont les points d'intersection des deux courbes, là où la région se referme.

On les trouve en résolvant l'équation qui égalise les deux fonctions :

   f(x) = g(x)        ->  les solutions sont les bornes a et b

Reprenons y = x et y = x². Leurs intersections :

   x = x²   <=>   x² − x = 0   <=>   x(x − 1) = 0   <=>   x = 0  ou  x = 1

Les bornes de l'aire sont donc a = 0 et b = 1 — exactement celles utilisées à la leçon précédente. La région est « fermée » par ces deux points de rencontre.

Attention au croisement. Si les courbes se croisent à l'intérieur de l'intervalle, la courbe du haut et celle du bas échangent leurs rôles. Il faut alors découper à chaque intersection et, sur chaque morceau, soustraire dans le bon ordre (haut − bas).

   f=g en x1, x2, x3 ...   ->   decouper aux intersections
   sur chaque morceau : identifier qui est au-dessus, puis integrer la difference

La démarche complète tient en trois temps :

   1. Resoudre f(x) = g(x)  ->  bornes et croisements
   2. Sur chaque morceau, reperer la courbe du haut
   3. Integrer (haut − bas) et additionner

Retiens que le plus dur n'est pas l'intégrale, c'est la mise en place : trouver les bornes et savoir qui domine qui. Une fois cela posé, le calcul se déroule tout seul.