L'intégrale comme aire algébrique

L'intégrale ∫ de a à b de f(x) dx mesure une aire — mais une aire algébrique, c'est-à-dire signée. C'est le point crucial à comprendre pour ne jamais se tromper.

Là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (f positive), l'aire compte positivement. Là où elle passe en dessous (f négative), l'aire compte négativement.

   f(x)
    |    /‾‾\  (+)          aire au-dessus  ->  comptee +
    |   /    \
    +--+------+----+----+--> x
    |            \    /
    |             \__/  (−)  aire en dessous ->  comptee −

Conséquence importante : si une partie est au-dessus et une autre en dessous, l'intégrale fait la différence des deux aires. Elle peut même être nulle si elles se compensent, alors que la surface réellement colorée, elle, n'est pas nulle.

   ∫ de a à b : aire(au-dessus) − aire(en dessous)   (aire ALGEBRIQUE)

Un exemple parlant : l'intégrale de la fonction sinus sur une période complète vaut 0, car la bosse positive et le creux négatif se compensent exactement. Pourtant la surface entre la courbe et l'axe n'est pas nulle.

Retiens la distinction, source de la moitié des erreurs : l'intégrale donne une aire signée. Si l'on veut la vraie aire géométrique (toujours positive) d'une région, il faut tenir compte du signe de f — c'est l'objet de la leçon suivante.