L'intégrale comme aire algébrique

L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ mesure une aire — mais une aire algébrique, c'est-à-dire signée. C'est le point crucial à comprendre pour ne jamais se tromper.

Là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, quand $f$ est positive, l'aire compte positivement. Là où elle passe en dessous, quand $f$ est négative, l'aire compte négativement.

Position de la courbe	Signe de $f$	Contribution à l'intégrale
au-dessus de l'axe	$f(x) > 0$	positive
en dessous de l'axe	$f(x) < 0$	négative

Conséquence importante : si une partie est au-dessus et une autre en dessous, l'intégrale fait la différence des deux aires.

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \text{aire au-dessus} - \text{aire en dessous}$$

Elle peut même être nulle si les deux se compensent, alors que la surface réellement colorée, elle, n'est pas nulle.

Un exemple parlant : l'intégrale de la fonction sinus sur une période complète vaut $0$, car la bosse positive et le creux négatif se compensent exactement.

$$\int_0^{2\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \bigl[-\cos x\bigr]_0^{2\pi} = -1 + 1 = 0$$

Pourtant, la surface entre la courbe et l'axe n'est pas nulle.

Retiens la distinction, source de la moitié des erreurs : l'intégrale donne une aire signée. Si l'on veut la vraie aire géométrique, toujours positive, il faut tenir compte du signe de $f$ — c'est l'objet de la leçon suivante.