L'aire géométrique d'une région

Pour obtenir la véritable aire géométrique d'une surface — celle qu'on colorierait, toujours positive — il faut corriger le signe là où la fonction passe sous l'axe.

La méthode est systématique :

   1. Trouver ou f change de signe (resoudre f(x) = 0).
   2. Decouper l'intervalle en morceaux ou f garde un signe constant.
   3. Sur chaque morceau, prendre la valeur ABSOLUE de l'integrale.
   4. Additionner ces aires positives.

Autrement dit, l'aire géométrique entre la courbe et l'axe s'écrit :

   Aire = ∫ de a à b |f(x)| dx        (valeur absolue = tout devient positif)

En pratique, on ne calcule pas une primitive de |f| (difficile), on découpe selon le signe. Prenons f sur [a ; b], positive sur [a ; c] puis négative sur [c ; b] :

   Aire = ∫ de a à c f(x) dx  −  ∫ de c à b f(x) dx
                (deja +)          (on retranche pour rendre +)

Le second morceau, où f est négative, a une intégrale négative : en la retranchant (signe moins), on la rend positive. Les deux contributions s'ajoutent alors comme de vraies aires.

   aire signee  :  peut etre negative ou nulle   (∫ f)
   aire reelle  :  toujours positive             (∫ |f|, par decoupage)

Le réflexe à garder : avant de calculer une aire, étudie le signe de f. S'il change, découpe. C'est ce qui sépare une aire correcte d'un résultat faux.