L'aire géométrique d'une région

Pour obtenir la véritable aire géométrique d'une surface — celle qu'on colorierait, toujours positive — il faut corriger le signe là où la fonction passe sous l'axe.

La méthode est systématique :

1. Trouver où $f$ change de signe, en résolvant $f(x) = 0$.
2. Découper l'intervalle en morceaux où $f$ garde un signe constant.
3. Sur chaque morceau, prendre la valeur absolue de l'intégrale.
4. Additionner ces aires positives.

Autrement dit, l'aire géométrique entre la courbe et l'axe s'écrit :

$$\mathcal{A} = \int_a^b \bigl|f(x)\bigr|\,\mathrm{d}x$$

En pratique, on ne calcule pas une primitive de $|f|$, ce qui serait difficile : on découpe selon le signe. Prenons $f$ sur $[a \,;\, b]$, positive sur $[a \,;\, c]$ puis négative sur $[c \,;\, b]$ :

$$\mathcal{A} = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x - \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

Le premier morceau est déjà positif. Le second, où $f$ est négative, a une intégrale négative : en la retranchant, on la rend positive. Les deux contributions s'ajoutent alors comme de vraies aires.

Notion	Formule	Signe
aire signée	$\displaystyle\int_a^b f$	peut être négative ou nulle
aire géométrique	$\displaystyle\int_a^b \lvert f \rvert$, par découpage	toujours positive

Le réflexe à garder : avant de calculer une aire, étudie le signe de $f$. S'il change, découpe. C'est ce qui sépare une aire correcte d'un résultat faux.