L'aire comprise entre deux courbes

Le cas le plus utile n'est pas l'aire sous une courbe, mais l'aire entre deux courbes. La formule est d'une simplicité remarquable : on intègre la différence des deux fonctions.

Si, sur $[a \,;\, b]$, la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$, c'est-à-dire $f(x) \geq g(x)$, l'aire de la région comprise entre les deux vaut :

$$\mathcal{A} = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x$$

soit celle du haut moins celle du bas.

Le point remarquable : cette formule reste valable même si les courbes passent sous l'axe. Peu importe leur position par rapport à l'axe des abscisses — seule compte leur position l'une par rapport à l'autre. La différence haut moins bas est toujours positive, donc l'aire l'est aussi. On n'a plus à se soucier du signe de $f$ ni de celui de $g$ séparément, seulement de savoir laquelle est au-dessus.

Exemple. Entre la droite $y = x$, au-dessus, et la parabole $y = x^2$, en dessous, sur $[0 \,;\, 1]$ :

$$\mathcal{A} = \int_0^1 \left(x - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Simple, robuste, et débarrassé des problèmes de signe. Reste à trouver les bornes.