L'aire comprise entre deux courbes

Le cas le plus utile n'est pas l'aire sous une courbe, mais l'aire entre deux courbes. La formule est d'une simplicité remarquable : on intègre la différence des deux fonctions.

Si, sur [a ; b], la courbe de f est au-dessus de celle de g (donc f(x) ≥ g(x)), l'aire de la région comprise entre les deux vaut :

   Aire = ∫ de a à b ( f(x) − g(x) ) dx        (celle du HAUT moins celle du BAS)

   y
   |      f (courbe du haut)
   |     __---‾‾‾---__
   |    / ///////////  \      <- region entre les deux courbes
   |   /_--‾‾‾‾‾‾‾--_\
   |     g (courbe du bas)
   +--+----------------+--> x
      a                b

Le point remarquable : cette formule est valable même si les courbes passent sous l'axe. Peu importe leur position par rapport à l'axe des abscisses — seule compte leur position l'une par rapport à l'autre. La différence (haut − bas) est toujours positive, donc l'aire l'est aussi. On n'a plus à se soucier du signe de f ou de g séparément, seulement de savoir laquelle est au-dessus.

   verifier : quelle courbe est au-dessus sur [a ; b] ?
              Aire = ∫ (celle du haut − celle du bas)

Exemple : entre la droite y = x (au-dessus) et la parabole y = x² (en dessous) sur [0 ; 1] :

   Aire = ∫ de 0 à 1 (x − x²) dx = [ x²/2 − x³/3 ] de 0 a 1 = 1/2 − 1/3 = 1/6

Simple, robuste, et débarrassé des problèmes de signe. Reste à trouver les bornes.