Un nombre dont le carré vaut -1

Pourquoi inventer le nombre i

Aucun nombre réel n'a un carré négatif : x² est toujours positif ou nul. Pourtant, en décidant qu'un tel nombre existe, on obtient une théorie cohérente, plus simple que la précédente, et devenue indispensable en physique et en ingénierie.

Le nombre i

On pose l'existence d'un nombre, noté i, vérifiant :

i² = -1

Ce nombre n'est pas réel : il ne se place nulle part sur la droite des réels. Il faudra donc un plan pour le loger, et c'est l'objet du chapitre suivant.

La forme algébrique

Un nombre complexe s'écrit :

z = a + i b        avec a et b réels

a = Re(z)   la PARTIE RÉELLE
b = Im(z)   la PARTIE IMAGINAIRE   (un nombre RÉEL, malgré son nom)

Cette écriture est unique : deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires coïncident.

a + ib = a' + ib'      <=>      a = a'   ET   b = b'

Une seule égalité complexe équivaut donc à deux égalités réelles — un mécanisme utilisé en permanence dans les calculs.

z = 3 - 2i     ->   Re(z) = 3        Im(z) = -2   (et non -2i)
z = 5          ->   un réel : Im(z) = 0
z = 4i         ->   un imaginaire pur : Re(z) = 0

L'ensemble des complexes se note C, et il contient R : tout réel est un complexe de partie imaginaire nulle.

   N  ⊂  Z  ⊂  Q  ⊂  R  ⊂  C

D'où ça vient : les équations du troisième degré

Contrairement à la légende, les complexes ne sont pas nés du souhait de résoudre x² = -1 — cette équation, on se contentait de la déclarer impossible.

Ils sont apparus au XVIe siècle chez les algébristes italiens (Cardan, Bombelli) en résolvant les équations du troisième degré. La formule de résolution passait par des racines carrées de nombres négatifs même lorsque les trois solutions finales étaient des réels parfaitement ordinaires. Impossible de les éviter : il fallait traverser l'imaginaire pour revenir au réel.

Ces nombres, longtemps jugés suspects — Descartes leur donne le nom d'« imaginaires » par méfiance — ne furent pleinement légitimés qu'au XIXe siècle, avec leur représentation géométrique.

Les puissances de i

Elles tournent en cycle de longueur 4 :

i⁰ = 1        i¹ = i        i² = -1       i³ = -i
i⁴ = 1        i⁵ = i        i⁶ = -1       ...

    1  ->  i  ->  -1  ->  -i  ->  1  ->  ...

Pour calculer i^n, on divise n par 4 et on regarde le reste :

reste 0 -> 1        reste 1 -> i        reste 2 -> -1       reste 3 -> -i

i^2026 :  2026 = 4 × 506 + 2      ->  i^2026 = i² = -1

En résumé