Calculer avec les nombres complexes

On calcule avec les complexes exactement comme avec les expressions littérales, en ajoutant une seule règle : partout où apparaît i², on écrit -1.

Addition et soustraction

Elles se font composante par composante :

(3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + (2 - 5)i = 4 - 3i

Multiplication

On développe, puis on remplace i² :

(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i²
                = 2 + i - 3×(-1)
                = 2 + i + 3
                = 5 + i

Le seul réflexe à acquérir : -3i² vaut +3, pas -3. Le changement de signe est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Le conjugué

Le conjugué de z = a + ib est le complexe obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire :

z = a + ib      ->      z̄ = a - ib

Sa propriété décisive : le produit d'un complexe par son conjugué est un nombre réel positif.

z × z̄ = (a + ib)(a - ib) = a² - (ib)² = a² + b²

C'est l'identité (x + y)(x - y) = x² - y² appliquée avec y = ib. Le résultat, a² + b², ne contient plus de i du tout.

Autres règles, toutes faciles à retenir :

conjugué d'une somme   = somme des conjugués
conjugué d'un produit  = produit des conjugués
z est RÉEL     <=>  z̄ = z
z est IMAGINAIRE PUR <=>  z̄ = -z

Le module

|z| = √(a² + b²)          donc      z × z̄ = |z|²

C'est la généralisation de la valeur absolue : |z| mesure la « taille » de z, et l'on verra au chapitre suivant que c'est sa distance à l'origine. Le module est toujours positif ou nul, et il est multiplicatif : |zz'| = |z| × |z'|.

La division : la technique à retenir

Comment se débarrasser d'un i au dénominateur ? En multipliant haut et bas par le conjugué du dénominateur :

  3 + i         (3 + i)(1 + 2i)         3 + 6i + i + 2i²
--------  =  ----------------------  =  ------------------
  1 - 2i       (1 - 2i)(1 + 2i)              1² + 2²

             3 + 7i - 2       1 + 7i        1     7
          =  -----------  =  --------   =  --- + --- i
                  5              5          5     5

Le dénominateur devient |1 - 2i|² = 5, un réel : la fraction est mise sous forme algébrique. C'est le calcul le plus fréquent du chapitre.

Le tableau des formules

z = a + ib                z̄ = a - ib               |z| = √(a² + b²)

z + z̄ = 2 Re(z)           z - z̄ = 2i Im(z)          z z̄ = |z|²

1/z = z̄ / |z|²            |z z'| = |z| |z'|

En résumé

• On calcule comme d'habitude, en remplaçant i² par -1.
• Le conjugué z̄ = a - ib vérifie z z̄ = a² + b² = |z|², un réel positif.
• Le module |z| = √(a² + b²) généralise la valeur absolue et est multiplicatif.
• Pour diviser, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
• z réel ⟺ z̄ = z ; z imaginaire pur ⟺ z̄ = -z.