Les équations du second degré dans C

La véritable raison d'être des complexes apparaît ici : dans C, toute équation polynomiale a des solutions. Plus jamais de « pas de solution ».

Le second degré à discriminant négatif

Reprenons az² + bz + c = 0 avec des coefficients réels et Δ = b² - 4ac < 0. Dans R, on s'arrêtait là. Dans C, on continue, car Δ possède désormais des racines carrées : si Δ = -36, alors √Δ = ± 6i.

z² - 4z + 13 = 0

Δ = 16 - 52 = -36 < 0        √Δ = 6i

        4 ± 6i
z = ------------- = 2 ± 3i
          2

Solutions :  z1 = 2 + 3i   et   z2 = 2 - 3i

La formule est la même qu'en réel, avec i√|Δ| à la place de √Δ.

Les solutions sont conjuguées

Ce n'est pas un hasard :

Δ < 0  et coefficients RÉELS   ->   z1 et z2 sont CONJUGUÉES

Dans le plan complexe, les deux solutions sont symétriques par rapport à l'axe des réels :

              ^
          3   +----• 2 + 3i
              |    |
      --------+----+------>
              |    |
         -3   +----• 2 - 3i

C'est un contrôle gratuit : si l'on trouve deux solutions non conjuguées à une équation à coefficients réels, il y a une erreur de calcul.

Somme et produit, toujours valables

z1 + z2 = -b/a           (2+3i) + (2-3i) = 4 = 4/1        ✔
z1 × z2 =  c/a           (2+3i)(2-3i) = 4 + 9 = 13        ✔

Ces relations fournissent la vérification la plus rapide.

Un exemple à connaître

z² + z + 1 = 0        Δ = 1 - 4 = -3        √Δ = i√3

      -1 ± i√3
z = -------------
          2

Ces deux solutions sont les racines cubiques de l'unité autres que 1 : élevées au cube, elles donnent 1. On les retrouve partout, du triangle équilatéral aux systèmes triphasés en électricité.

Le théorème fondamental

Le résultat qui justifie tout le chapitre, démontré par Gauss :

Théorème de d'Alembert-Gauss. Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine dans C.

Par récurrence, on en déduit qu'un polynôme de degré n possède exactement n racines dans C, comptées avec leur multiplicité, et se factorise entièrement :

P(z) = a (z - z1)(z - z2) ... (z - zn)

On dit que C est algébriquement clos. C'est ce qui manquait à R : le polynôme x² + 1 n'y avait aucune racine, alors qu'il en a deux dans C, i et -i.

À quoi cela sert vraiment

L'utilité dépasse largement l'algèbre :

Électricité      : impédance complexe -> les circuits en régime sinusoïdal
                   se traitent avec la loi d'Ohm, sans équations différentielles
Traitement du signal : transformée de Fourier, filtres, modulation
Mécanique        : la stabilité d'un système se lit sur le SIGNE de la partie
                   réelle des valeurs propres (complexes) de sa matrice
Physique quantique : l'amplitude de probabilité est un nombre complexe —
                   les interférences viennent de l'addition de ces amplitudes

Le point commun : ce qui demandait deux équations réelles couplées (une amplitude et une phase) devient une seule équation complexe.

En résumé

• Si Δ < 0, les solutions existent dans C : z = (-b ± i√|Δ|) / 2a.
• Avec des coefficients réels, les deux solutions sont conjuguées.
• Somme = -b/a et produit = c/a restent valables et servent de contrôle.
• Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme de degré n a exactement n racines dans C.
• C est algébriquement clos — ce qui manquait à R.
• Applications : électricité, signal, mécanique, physique quantique.