Le plan complexe

Les complexes ont cessé d'être suspects le jour où on a su les dessiner. Un complexe étant décrit par deux nombres réels, il se place naturellement dans un plan.

L'affixe et le point image

On munit le plan d'un repère orthonormé. Au complexe z = a + ib on associe le point M de coordonnées (a ; b) :

              ^ axe des imaginaires
              |
            b +--------• M(z)      z = a + ib
              |        |
              |        |           M est l'IMAGE de z
      --------+--------+------->   z est l'AFFIXE de M
              O        a   axe des réels

Ce plan s'appelle le plan complexe. L'axe horizontal porte les réels, l'axe vertical les imaginaires purs. À chaque complexe correspond un point, et un seul — et réciproquement.

Le module est une distance

C'est le pont entre algèbre et géométrie :

|z| = √(a² + b²) = OM        (par le théorème de Pythagore)

Le module d'un complexe est la distance de son image à l'origine. Plus généralement :

|z - z'| = distance entre les points d'affixes z et z'

Cette dernière formule transforme des conditions géométriques en équations, et réciproquement :

|z| = 3           ->  cercle de centre O et de rayon 3
|z - 2i| = 1      ->  cercle de centre (0 ; 2), rayon 1
|z - 1| = |z + 1| ->  médiatrice du segment joignant (1;0) et (-1;0)
                      c'est-à-dire l'axe des imaginaires

Les opérations, vues géométriquement

z + z'  ->  ADDITION DE VECTEURS (règle du parallélogramme)
-z      ->  symétrie par rapport à l'ORIGINE
z̄       ->  symétrie par rapport à l'AXE DES RÉELS
k·z     ->  agrandissement de rapport k (k réel)

Le conjugué est particulièrement parlant :

              ^
            b +----• M(z)
              |    |
      --------+----+------>
              |    |
           -b +----• M'(z̄)      reflet dans le miroir de l'axe réel

Un plan, pas une droite

Il faut renoncer à un réflexe : on ne peut pas comparer deux complexes. Écrire z < z' n'a aucun sens, car il n'existe pas d'ordre sur C compatible avec les opérations. C'est le prix de la deuxième dimension : on gagne les racines de tous les polynômes, on perd la possibilité de ranger les nombres.

En revanche, on peut toujours comparer leurs modules, qui sont des réels positifs.

Ce qui vient ensuite

Repérer un point par ses coordonnées (a ; b) n'est pas toujours le plus commode. On peut aussi le repérer par sa distance à l'origine et par l'angle que fait OM avec l'axe des réels : ce sont le module et l'argument, qui font l'objet du cours sur la forme trigonométrique. C'est cette écriture qui révèle que multiplier par un complexe revient à tourner.

En résumé

• Le plan complexe représente z = a + ib par le point M(a ; b).
• z est l'affixe de M, M l'image de z.
• |z| = OM : le module est une distance ; |z - z'| est la distance entre deux points.
• z + z' correspond à une addition de vecteurs, z̄ à une symétrie par rapport à l'axe réel.
• Les conditions du type |z - a| = r décrivent des cercles.
• On ne peut pas comparer deux complexes : C n'est pas ordonné.