Origine et enonce de la formule

Pourquoi une nouvelle regle ?

La derivation d'un produit donne (uv)' = u'v + uv'. En integrant les deux membres, on obtient une identite reliant integrale de u'v et integrale de uv'. C'est l'origine de l'integration par parties (IPP), outil indispensable quand une primitive directe n'existe pas mais que le produit se derive/s'integre bien en cascade.

La formule

Version indefinie : integrale(u(x) v'(x) dx) = u(x) v(x) - integrale(u'(x) v(x) dx)

Version definie (bornes a, b) : integrale de a a b de u v' dx = [u v] de a a b - integrale de a a b de u' v dx

Demonstration rapide

On part de (uv)' = u' v + u v'. En integrant sur [a,b] : integrale de a a b de (uv)' dx = integrale de a a b de u' v dx + integrale de a a b de u v' dx

Or integrale de a a b de (uv)' dx = [u v] de a a b (theoreme fondamental). D'ou la formule en isolant integrale de u v'.

Exemple immediat

Calculer I = integrale de x * e^x dx. On pose u = x, dv = e^x dx, donc du = dx, v = e^x. I = x e^x - integrale e^x dx = x e^x - e^x + C = (x-1) e^x + C.

Tableau recapitulatif

Element	Role	Doit etre
u	facteur derive	simple a deriver
dv	facteur integre	simple a integrer
du	derivee de u	plus simple que u
v	primitive de dv	calculable explicitement

Cette regle transforme un produit complique en un autre produit, en general plus simple, a condition de bien choisir u et dv.