Choisir u et dv : la regle ILATE

Le probleme du choix

L'IPP fonctionne dans les deux sens : mal choisir u et dv peut compliquer l'integrale au lieu de la simplifier. Un choix malheureux fait parfois boucler le calcul ou fait apparaitre une integrale plus difficile que celle de depart.

La regle mnemotechnique ILATE

Pour prioriser le choix de u (le facteur a deriver), on privilegie dans cet ordre : I - fonctions Inverses trigonometriques (arcsin, arctan...) L - fonctions Logarithmiques (ln x) A - fonctions Algebriques (polynomes, x^n) T - fonctions Trigonometriques (sin x, cos x) E - fonctions Exponentielles (e^x)

Le facteur le plus haut dans la liste devient u ; le reste (avec dx) devient dv.

Exemple avec ln(x)

Calculer J = integrale de ln(x) dx sur [1, e]. Il n'y a qu'un seul facteur visible : on pose dv = dx (donc v = x) et u = ln(x) (donc du = dx/x), car ln x n'a pas de primitive evidente mais une derivee tres simple. J = [x ln x] de 1 a e - integrale de 1 a e de x * (1/x) dx = (e - 0) - integrale de 1 a e de 1 dx = e - (e-1) = 1.

Exemple polynome fois trigonometrique

Pour K = integrale de x^2 * cos(x) dx : A (algebrique x^2) passe avant T (trigonometrique), donc u = x^2, dv = cos(x) dx.

Piege frequent

Si on choisissait u = e^x et dv = x dx dans I = integrale de x e^x dx, on obtiendrait v = x^2/2, et la nouvelle integrale integrale de (x^2/2) e^x dx serait plus compliquee que la depart : le degre du polynome augmente au lieu de diminuer. Toujours verifier que le nouveau produit obtenu est plus simple que le produit initial.