Integrales cycliques et pieges classiques

Le cas des integrales cycliques

Certaines integrales, comme integrale de e^x cos(x) dx, ne se simplifient jamais completement : deux IPP successives font revenir a l'integrale de depart, multipliee par un facteur. On dit qu'elles sont cycliques.

Exemple detaille

Soit C = integrale de e^x cos(x) dx. IPP 1 : u = cos(x), dv = e^x dx -> du = -sin(x) dx, v = e^x. C = e^x cos(x) + integrale e^x sin(x) dx. IPP 2 sur integrale e^x sin(x) dx : u = sin(x), dv = e^x dx -> du = cos(x) dx, v = e^x. integrale e^x sin(x) dx = e^x sin(x) - integrale e^x cos(x) dx = e^x sin(x) - C.

En reinjectant : C = e^x cos(x) + e^x sin(x) - C, donc 2C = e^x (cos x + sin x), d'ou C = e^x (cos x + sin x) / 2 + K.

La methode a retenir

Quand l'integrale de depart reapparait dans le calcul, il suffit de la traiter comme une inconnue algebrique et de resoudre l'equation obtenue.

Pieges classiques a eviter

• Changer le choix de u/dv entre les deux IPP successives : cela annule le cycle et fait disparaitre l'integrale de depart au lieu de la faire reapparaitre.
• Oublier la constante d'integration au moment de conclure.
• Confondre integrale definie et indefinie : pour une integrale definie, on mene le cycle sur la primitive puis on evalue les bornes seulement a la fin.
• Ne pas verifier le resultat par derivation, ce qui permettrait de detecter une erreur de signe frequente sur -sin(x).