IPP repetees et formules de recurrence

Quand une seule IPP ne suffit pas

Certaines integrales, comme integrale de x^2 e^x dx ou plus generalement integrale de x^n e^x dx, necessitent d'appliquer l'IPP plusieurs fois de suite, car chaque application ne fait baisser le degre du polynome que de 1.

Exemple pas a pas

Calculer I2 = integrale de x^2 e^x dx. Etape 1 : u = x^2, dv = e^x dx -> du = 2x dx, v = e^x. I2 = x^2 e^x - integrale 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 * integrale x e^x dx. Etape 2 : on reutilise le resultat connu integrale x e^x dx = (x-1) e^x + C. I2 = x^2 e^x - 2(x-1) e^x + C = (x^2 - 2x + 2) e^x + C.

Formule de recurrence generale

Pour In = integrale de x^n e^x dx, l'IPP (u = x^n, dv = e^x dx) donne : In = x^n e^x - n * I(n-1)

Cette relation permet de calculer In de proche en proche a partir de I0 = e^x + C, sans refaire tout le calcul a chaque fois.

Tableau des premiers termes

n	In (a une constante pres)
0	e^x
1	(x-1) e^x
2	(x^2-2x+2) e^x
3	(x^3-3x^2+6x-6) e^x

Piege classique

A chaque etape, il faut garder le meme role pour u (le facteur polynomial qu'on derive), sinon le degre ne diminue pas et le calcul boucle indefiniment au lieu de se terminer.