Vecteurs dans un repere : coordonnees et norme

Coordonnees d'un vecteur

Le vecteur AB defini par deux points A(xA; yA) et B(xB; yB) a pour coordonnees :

vecteur AB (xB - xA ; yB - yA)

Exemple : avec A(1; 3) et B(4; -1), vecteur AB (4-1 ; -1-3) = (3 ; -4).

Norme d'un vecteur

La norme (longueur) d'un vecteur u(x; y) se note ||u|| et se calcule ainsi :

||u|| = sqrt(x^2 + y^2)

Exemple : ||vecteur AB|| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5. On retrouve exactement la distance AB, ce qui est normal puisque la norme d'un vecteur AB est la longueur du segment [AB].

Somme et multiplication par un reel

Si u(x; y) et v(x'; y'), alors u + v a pour coordonnees (x+x' ; y+y'). Multiplier un vecteur par un reel k donne ku de coordonnees (kx ; k*y).

Vecteurs egaux

Deux vecteurs sont egaux si et seulement si ils ont exactement les memes coordonnees, meme si leurs points d'origine et d'arrivee sont differents.

Pieges a eviter

• Le vecteur AB va de A vers B : ses coordonnees sont (xB-xA ; yB-yA), on part toujours du point d'arrivee moins le point de depart.
• Le vecteur BA est l'oppose du vecteur AB : vecteur BA = -vecteur AB.
• La norme d'un vecteur est toujours positive ou nulle, jamais negative.