Sections planes de solides

Qu'est-ce qu'une section ?

Couper un solide par un plan produit une section : la figure plane obtenue a l'intersection. Comprendre la forme de cette section aide a visualiser un solide et a resoudre des problemes de calcul d'aires ou de volumes partiels.

Section d'un cube ou d'un pave

Si on coupe un cube par un plan parallele a une face, la section est un carre identique a cette face. Si le plan est parallele a une arete mais pas a une face, la section peut etre un rectangle. Un plan incline peut donner un triangle, un pentagone, voire un hexagone selon son orientation.

Section d'un cylindre

• Plan parallele aux bases : la section est un disque de meme rayon que les bases.
• Plan parallele a l'axe : la section est un rectangle.

Section d'une pyramide ou d'un cone

Si on coupe une pyramide (ou un cone) par un plan parallele a la base, la section est une reduction de la base (un polygone semblable pour la pyramide, un disque plus petit pour le cone). C'est une consequence du theoreme de Thales generalise a l'espace.

Exemple : une pyramide de hauteur 12 cm est coupee par un plan parallele a la base a 4 cm du sommet. Le rapport de reduction est 4/12 = 1/3. Si la base a une aire de 90 cm^2, la section a une aire de (1/3)^2 x 90 = 10 cm^2.

Section d'une sphere

Toute section d'une sphere par un plan est un cercle (ou un point si le plan est tangent). Si le plan passe par le centre, on obtient le grand cercle, de meme rayon que la sphere.

Piege classique

Pour les sections paralleles a la base d'une pyramide ou d'un cone, on multiplie les longueurs par le rapport k, mais les aires sont multipliees par k^2 (et les volumes par k^3). Oublier d'elever le rapport au carre pour une aire est une erreur tres frequente.