Positions relatives : droites et plans

Droites et plans dans l'espace

Dans l'espace, deux droites peuvent etre : secantes (elles se coupent en un point), paralleles (memes direction, ne se coupent jamais) ou non coplanaires. Cette derniere situation n'existe pas dans le plan : deux droites de l'espace peuvent ne jamais se croiser sans etre paralleles pour autant, car elles ne vivent pas dans le meme plan.

Exemple concret : dans une piece cubique, l'arete du plafond situee devant et l'arete verticale du mur de gauche ne se coupent pas et ne sont pas paralleles : elles sont non coplanaires.

Droite et plan

Une droite et un plan peuvent etre :

• secants : ils se coupent en un seul point
• paralleles : la droite ne rencontre jamais le plan (ou elle est incluse dans le plan)

Deux plans

Deux plans distincts de l'espace sont soit paralleles (aucun point commun), soit secants : leur intersection est alors une droite.

Orthogonalite

Une droite est orthogonale a un plan si elle est perpendiculaire a toutes les droites de ce plan passant par leur point d'intersection. En pratique, il suffit de verifier qu'elle est perpendiculaire a deux droites secantes du plan pour conclure.

Situation	Intersection possible
Deux droites	point, vide (paralleles ou non coplanaires)
Droite et plan	point, vide, ou droite incluse dans le plan
Deux plans	vide, ou une droite

Piege classique

Une erreur frequente est de croire que deux droites qui ne se coupent jamais sont forcement paralleles : dans l'espace, ce n'est vrai que si elles sont coplanaires. Verifie toujours si les droites appartiennent a un meme plan avant de conclure qu'elles sont paralleles.